% probabilités
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%                                                              %%%
%%%     Feuille d'exercices de mathématiques au format LaTeX     %%%
%%%     créée le Wed, 26 Nov 2008 11:29:59 +0100                 %%%
%%%     sur http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices      %%%
%%%                                                              %%%
%%%     Pour le compiler, c.a.d. fabriquer le fichier PDF),      %%%
%%%     utiliser la commande : pdflatex fichier                  %%%
%%%     (fonctionne sous Linux avec la distribution texlive)     %%%
%%%                                                              %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[a4paper,centering,twocolumn,columnsep=1cm,width=18.6cm,height=26.31cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amssymb,amsthm,amsmath}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[pdftex]{color,graphicx}
\usepackage[pdftex,bookmarks=false,pdftitle=Feuille 9. Probabilités,pdfauthor=Pierre~Allken-Bernard,pdfsubject=Feuille~d'exercices, colorlinks=true,linkcolor=black,citecolor=red,filecolor=red,urlcolor=blue,pageanchor=false]{hyperref}

% Apparence des exercices
\newcounter{numexercice}
\newenvironment{exercice}{\stepcounter{numexercice}\textbf{\textsc{Exercice \thenumexercice}}\par}{\bigskip}

% Apparence des listes enumerate, itemize, ... (voir la documentation du package enumitem)
\setenumerate{leftmargin=*,topsep=0pt,itemsep=0pt}
\setenumerate[1]{label=\textbf{\arabic*.}}
\setenumerate[2]{label=\textbf{\alph*.}}
\setenumerate[3]{label=\textbf{\roman*.}}

%\newdateformat{monformat}{\twodigit{\theday}-\twodigit{\themonth}-\theyear}

\newcommand{\thetitle}{Feuille 9. Probabilités}
\title{\textbf{\thetitle}}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\parindent=0pt
\pagestyle{fancy}
\lhead{\textbf{\today}} 
\chead{\textbf{\thetitle}}
\rhead{\textbf{\thepage/\pageref{fin}}}
\lfoot{\small \textit{Lycée Joachim du Bellay}}
\cfoot{\small \textit{Mathématiques, prépa ECE1}}
\rfoot{\small \textit{http://allken-bernard.org/pierre/ece}}
\renewcommand{\headrulewidth}{1.2pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 388
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On lance deux dés. L'univers associé à cette expérience aléatoire est~:
\[\Omega=\{(1,1),(1,2),\ldots,(6,6)\}\] Expliciter les évènements suivants et calculer leurs probabilités~:
\begin{enumerate}
\item $A=$\og le premier jet a donné $1$\fg. 
\item $B=$\og le double du premier jet a été inférieur ou égal au second\fg.
\item $C=$\og la somme des deux dés est $4$\fg.
\item $D=B\cap C$.
\item $E=$\og on a au moins un six\fg.
\item $F=\overline E$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 389
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On lance deux dés.
\begin{enumerate}
\item Préciser l'univers $\Omega$ associé à cette expérience. Quel est le cardinal de $\Omega$~?
\item Soit $D$ l'événement \og{}on obtient un double six\fg{}. Calculer $P(D)$.
\item Pour tout $n\in\{2,3,\ldots,12\}$, on note $A_n$ l'événement \og{}la somme des dés vaut $n$\fg{}. Calculer $P(A_n)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 390
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Dans une urne qui contient neuf boules numérotées de $1$ à $9$, on tire deux boules simultanément.
\begin{enumerate}
\item Préciser l'univers $\Omega$ associé à l'expérience, et son cardinal.
\item Quelle est la probabilité que les deux boules aient la même parité~?
\end{enumerate}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 391
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Dans une urne qui contient neuf boules numérotées de $1$ à $9$, on tire une boule, puis une seconde boule (sans remise de la première).
\begin{enumerate}
\item Préciser l'univers $\Omega$ associé à l'expérience, et son cardinal.
\item Quelle est la probabilité que les deux boules aient la même parité~?
\end{enumerate}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 392
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Dans une urne qui contient neuf boules numérotées de $1$ à $9$, on tire une boule, on la remet, puis on retire une boule.
\begin{enumerate}
\item Indiquer l'univers $\Omega$ associé à cette expérience aléatoire.
\item Quelle est la probabilité qu'elles aient la même parité~?
\end{enumerate}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 393
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit $A,B,C$ trois évènements, associés à une expérience aléatoire quelconque. Exprimer les évènements suivant à l'aide des opérations habituelles sur les ensembles~:
\begin{itemize}
\item Au moins un des évènements $A,B,C$ est réalisé.
\item Un et un seul des évènements $A,B,C$ est réalisé.
\item Au plus un des évènements $A,B,C$ est réalisé.
\item Au moins deux évèdements parmi $A,B,C$ sont réalisés.
\end{itemize}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 394
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On compose au hasard un numéro de téléphone (de dix chiffres).
\begin{enumerate}
\item Indiquer l'univers associé à l'expérience et son cardinal.
\item Quelle est la probabilité que tous les chiffres soient distincts~?
\item Quelle est la probabilité qu'il commence par $02$~?
\item Quelle est la probabilité que ses chiffres forment une suites strictement croissante~?
\end{enumerate}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 395
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Dans un supermarché se trouvent $150$ packs de lait dont $50$ avariés.
Les acheteurs prennent un pack au hasard, dans l'ordre de leurs arrivées.
Le but de l'exercice est de répondre à la question~: vaut-il mieux être le premier, le deuxième,\ldots, ou le $150$-ème acheteur~?
\begin{enumerate}
\item On note $L_1,L_2,\ldots,L_{150}$ les packs de lait, en convenant que $L_1,L_2,\ldots,L_{50}$ sont avariés.  Les $150$ packs de lait sont achetés dans un certain ordre (aléatoire)~: combien d'ordres existe-t-il~?
\item Parmi ces ordres, combien sont tels que le premier pack acheté est avarié~? Quelle est la probabilité pour que le premier client achète un pack avarié~?
\item Soit $k\in \{1,2,\ldots,150\}$. Quelle est la probabilité pour que le $k$-ème client achète un pack avarié~? Conclure.
\end{enumerate}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 396
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Un placard contient $10$ paires de chaussures (différentes). On prend quatre chaussures au hasard.
\begin{enumerate}
\item Introduire une notation pour les chaussures, décrire l'univers associé à l'expérience, et indiquer son cardinal.
\item Quelle est la probabilité de d'obtenir deux paires~?
\item \ldots au moins une paire~? 
\item \ldots exactement une paire~?
\item Quelle est la probabilité de n'obtenir aucune paire~?
\end{enumerate}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 397
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Un joueur de poker reçoit une main de cinq cartes (d'un jeu de  trente-deux cartes). Quelle est la probabilité que sa main contienne un carré~?
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 399
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On considère un groupe de quatre personnes. Pour simplifier, on appellera date d'anniversaire tout entier compris entre $1$ et $365$.
Les dates d'anniversaire des quatre personnes forment ainsi une $4$-liste $(d_1,d_2,d_3,d_4)$.
\begin{enumerate}
\item Combien existe-t-il de listes possibles~?
\item Parmi elles, combien contiennent quatres dates différentes~?
\item Quelle est la probabilité pour qu'au moins deux personnes parmi les quatre aient leurs anniversaires le même jour~?
\item Reprendre l'exercice avec $n$ personnes, $n$ étant un entier quelconque $\ge 2$. On notera $p_n$ la probabilité pour qu'un moins deux personnes parmi les $n$ aient leur anniversaire le même jour. On exprimera $p_n$ en fonction de $n$. On donnera (avec une calculatrice) une valeur approchée de $p_{20},p_{21},p_{22}$.
\item Quelle est la probabilité pour qu'au moins deux élèves de la classe aient leurs anniversaires le même jour~?
\end{enumerate}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 400
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Une famille a deux enfants.
\begin{enumerate}
\item Indiquer l'univers associé et donner son cardinal.
\item Quelle est la probabilité pour que le premier enfant soit une fille~?
\item Quelle est la probabilité pour que le second enfant soit une fille~?
\item Sachant que le premier enfant est une fille, quelle est la probabilité pour que le second soit une fille~?
\item Sachant qu'il y a au moins une fille, quelle est la probabilité pour qu'il y ait deux filles~?
\end{enumerate}



\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 401
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On lance deux dés. Calculer~:
\begin{itemize}
\item la probabilité pour que le total obtenu soit $7$ sachant qu'on a obtenu $1$ avec le premier dé.
\item la probabilité pour qu'on ait obtenu $1$ avec le premier dé sachant que le total obtenu est $7$.
\item la probabilité pour que le total obtenu soit $10$ sachant qu'on a obtenu  $3$ avec le premier dé.
\end{itemize}

\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 402
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On tire successivement trois boules (sans remise) dans une urne qui contient $3$ boules blanches et $7$ noires. Pour tout $k\in\{1,2,3\}$, on note $B_k$ l'événement \og la $k$-ème boule tirée est blanche\fg. Calculer $P(B_1)$, $P_{B_1}(B_2)$, et $P_{B_1\cap B_2}(B_3)$. En déduire la probabilité pour que les trois boules tirées soient blanches.

\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 403
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Un lot de $100$ dés contient $25$ dés pipés tels que la probilité d'obtenir $6$ en les lançant est $1/2$. On prend un dé au hasard, on le lance, et on obtient $6$.
\begin{enumerate}
\item Définir les événements importants associés à l'expérience.
\item Quelle est la probabilité pour que ce dé soit pipé~?
\end{enumerate}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 404
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Le quart d'une population a été vacciné. Parmi les vaccinés, on compte un douzième de malades. Parmi les malades, il y a quatre fois plus de non vaccinés. Quelle est la probabilité pour un non vacciné de tomber malade~?
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 405
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Dans un magasin de CD, $5\%$ des boîtes sont en mauvais état, $60\%$ des boîtes abîmées contiennent un CD défectueux, et $98\%$ des boîtes en bon état contiennent un CD en bon état. Un client achète un CD. On note $A$ l'événement \og la boîte achetée est abîmée\fg, et $D$ l'événement  \og le CD acheté est défectueux\fg.
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(A)$, $P(\overline A)$, $P_A(D)$, $P_{\overline A}(D)$, $P_A(\overline D)$, $P_{\overline A}(\overline D)$.
\item Calculer $P(D)$.
\item Le client constate que son CD est dévectueux. Quelle est la probabilité qu'il ait acheté une boîte abîmée ?
\end{enumerate}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 406
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Un élève a le choix entre quatre chemins $A,B,C,D$ pour aller au lycée.
La probabilité pour qu'il choisisse $A$ (resp. $B,C$) est $1/3$ (resp. $1/4,1/12$).
La probabilité d'arriver en retard en passant par $A$ (resp. $B,C$) est $1/20$ (resp. $1/10,1/5$). En passant par $D$, on n'est jamais en retard.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité pour que l'élève choisisse $D$~?
\item L'élève arrive en retard. Quelle est la probabilité pour qu'il soit passé par $C$~?
\end{enumerate}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 407
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On considère deux pièces de monnaie $\alpha$ et $\beta$. La pièce $\alpha$ est équilibrée, mais $\beta$ donne \og face \fg avec la probabilité $2/3$.
On choisit une pièce au hasard, on la lance. Si on obtient \og face\fg, on la garde, sinon on change de pièce. On poursuit l'expérience indéfiniment.
Pour tout $n\in\mathbf N^*$, notons $A_n$ l'événement \og{}on a utilisé $\alpha$ pour le $n$-ème lancer\fg{}, $F_n$ l'événement \og{}on a obtenu face au $n$-ème lancer\fg{}.
On note enfin, $u_n=P(A_n)$ et $v_n=P(F_n)$, pour tout $n\in\mathbf N^*$.
\begin{enumerate}
\item Soit $n\in\mathbf N^*$. Calculer $P_{A_n}(F_n)$ et $P_{\overline{A_n}}(F_n)$. En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $u_n$.
\item Calculer $u_1$ puis $v_1$.
\item Soit $n\in\mathbf N^*$. Montrer que les événements $A_n\cap F_n$, $A_n\cap \overline{F_n}$, $\overline{A_n}\cap F_n$, $\overline{A_n}\cap \overline{F_n}$ forment un système complet. Exprimer leurs probabilités en fonction de $u_n$.
\item Déterminer la probabilité de $A_{n+1}$ sachant $A_n\cap F_n$, puis sachant $A_n\cap \overline{F_n}$, etc. En déduire une expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item Exprimer $u_n$ puis $v_n$ en fonction de $n$.
\item Quelle est la limite de $v_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$~?
\end{enumerate}
\end{exercice}

\label{fin}
\end{document}