% dénombrement
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%%%     Feuille d'exercices de mathématiques au format LaTeX     %%%
%%%     créée le Thu, 13 Nov 2008 01:05:55 +0100                 %%%
%%%     sur http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices      %%%
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%%%     Pour le compiler, c.a.d. fabriquer le fichier PDF),      %%%
%%%     utiliser la commande : pdflatex fichier                  %%%
%%%     (fonctionne sous Linux avec la distribution texlive)     %%%
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\documentclass[10pt]{article}
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\usepackage{mathptmx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[pdftex]{color,graphicx}
\usepackage[pdftex,bookmarks=false,pdftitle=Feuille 8. Dénombrement,pdfauthor=Pierre~Allken-Bernard,pdfsubject=Feuille~d'exercices, colorlinks=true,linkcolor=black,citecolor=red,filecolor=red,urlcolor=blue,pageanchor=false]{hyperref}

% Apparence des exercices
\newcounter{numexercice}
\newenvironment{exercice}{\stepcounter{numexercice}\textbf{\textsc{Exercice \thenumexercice}}\par}{\bigskip}

% Apparence des listes enumerate, itemize, ... (voir la documentation du package enumitem)
\setenumerate{leftmargin=*,topsep=0pt,itemsep=0pt}
\setenumerate[1]{label=\textbf{\arabic*.}}
\setenumerate[2]{label=\textbf{\alph*.}}
\setenumerate[3]{label=\textbf{\roman*.}}

%\newdateformat{monformat}{\twodigit{\theday}-\twodigit{\themonth}-\theyear}

\newcommand{\thetitle}{Feuille 8. Dénombrement}
\title{\textbf{\thetitle}}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\parindent=0pt
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\lhead{\textbf{\today}} 
\chead{\textbf{\thetitle}}
\rhead{\textbf{\thepage/\pageref{fin}}}
\lfoot{\small \textit{Lycée Joachim du Bellay}}
\cfoot{\small \textit{Mathématiques, prépa ECE1}}
\rfoot{\small \textit{http://allken-bernard.org/pierre/ece}}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}

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%%%     Exercice 353
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On considère un jeu de $32$ cartes. On note~:
\begin{itemize}
\item $\heartsuit$ l'ensemble des cartes de coeur.
\item $\diamondsuit$ l'ensemble des cartes de carreau.
\item $\spadesuit$ l'ensemble des cartes de pique.
\item $\clubsuit$ l'ensemble des cartes de trèfle.
\end{itemize}
On note également $T$ l'ensemble des cartes qui sont un valet, une dame, un roi, ou un as.
\begin{enumerate}
\item Calculer les cardinaux des ensembles introduits ci-dessus.
\item Calculer les cardinaux de leurs complémentaires.
\item Soit $A$ l'ensemble des cartes qui sont noires et éléments de $T$. Exprimer $A$ et $\overline A$ en fonctions des ensembles introduits dans l'énoncé. Calculer les cardinaux de $A$ et $\overline A$.
\item Même question avec l'ensemble $B$ des cartes qui sont des trèfles n'appartenant pas à $T$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 354
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soient $E$ un ensemble et $A,B$ deux parties de $E$.
\begin{enumerate}
\item Factoriser puis simplifier l'expression~:
\[G=(A\cap \overline B)\cup (A\cap B)\]
\item Vérifier votre résultat sur un dessin.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 355
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit $E$ un ensemble. Pour toutes parties $A$ et $B$ de $E$, on note $A\Delta B$ l'ensemble des éléments de $E$ qui appartiennent à $A$ mais pas à $B$, ou à $B$ mais pas à $A$.
\begin{enumerate}
\item Faire un dessin de $E$, $A$, $B$ sur lequel on mettra en valeur $A\Delta B$.
\item Exprimer $A \Delta B$ en fonction de $A$ et $B$ et des opérations usuelles (intersection, union, complémentaire).
\item Montrer que $A \Delta \overline A=E$.
\item Montrer que $A \Delta E=\overline A$.
\item Montrer que $A \Delta \emptyset=A$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 356
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$. Que vaut $A\Delta B$ lorsque $A\subset B$~?
\end{exercice}


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%%%     Exercice 357
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soient $A$, $B$, $C$ trois parties d'un ensemble $E$. Démontrer que~:
\[A\cap (B\Delta C)=(A\cap B)\Delta (A\cap C)\]
\end{exercice}


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%%%     Exercice 358
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Expliciter l'ensemble $\mathcal P(\{a,b,c,d\})$.
\end{exercice}


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%%%     Exercice 359
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$. Simplifier~:
\[C=A\cap \overline{(A\cup B)\cap \overline A}\]
\end{exercice}


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%%%     Exercice 360
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit $A$ une partie d'un ensemble $E$. Simplifier~:
\[B=\overline{A\cap \overline{A\cap \overline{A\cap \overline A}}}\]
\end{exercice}


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%%%     Exercice 361
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Les élèves d'une classe ont la possibilité de pratiquer trois activités sportives $a$, $b$, $c$.
Ils doivent en pratiquer au moins une mais ils peuvent en pratiquer plusieurs. On note $A$ (resp. $B$, $C$) l'ensemble des élèves qui pratiquent l'activité $a$ (resp. $b$, $c$). On suppose que :
\begin{itemize}
\item $12$ élèves pratiquent l'activité $a$
\item $7$ élèves pratiquent l'activité $b$
\item $9$ élèves pratiquent l'activité $c$
\item $1$ élève pratique les activités $a$ et $b$
\item $2$ élèves pratiquent les activités $a$ et $c$
\item $6$ élèves pratiquent les activités $b$ et $c$
\item $1$ élève pratique les trois activités
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Reformuler ces données en termes de cardinaux d'ensembles.
\item Combien d'élèves compte la classe~?
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 362
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Pour son vélo, Toto possède un antivol à code. Le code est une succession de trois chiffres compris entre $0$ et $9$.
\begin{enumerate}
\item Toto a oublié son code. Combien de combinaisons doit-il essayer \emph{dans le pire des cas} avant de retrouver la bonne~?
\item Même question en supposant que Toto se souvient que son code commence par un $8$.
\item Même question en supposant que Toto se souvient que son code se termine par un chiffre pair.
\item Même question en supposant que Toto se souvient que son code ne contient que des chiffres pairs.
\item Même question en supposant que Toto se souvient que son code ne contient que des chiffres impairs.
\item Même question en supposant que Toto se souvient que son code contient au moins un chiffre pair.
\item Même question en supposant que Toto se souvient que son code contient exactement un chiffre pair.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 363
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On s'intéresse ici aux mots que l'on peut écrire avec les lettres de l'alphabet, un mot étant une suite de lettres n'ayant pas nécessairement de sens.
\begin{enumerate}
\item Combien de mots de deux lettres existe-t-il~?
\item Combien de mots de deux lettres identiques existe-t-il~?
\item Combien de mots de deux lettres différentes existe-t-il~? On donnera, pour cette question, deux méthodes différentes.
\item Combien de mots de deux lettres ont leurs lettres dans l'ordre alphabétique~?
\item Reprendre les questions 1 et 3 pour des mots de $n$ lettres ($n\in\mathbf N^*$ quelconque).
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 364
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Mon lecteur mp3 contient 32 morceaux de musique et une de ses fonctions permet d'en écouter 3 \emph{différents} au hasard.
\begin{enumerate}
\item Combien de possibilités existe-t-il pour cette écoute aléatoire de 3 morceaux~?
\item Combien de possibilités existe-t-il si l'on suppose que le premier morceau joué est mon morceau préféré~?
\item Combien de possibilités existe-t-il si l'on suppose que mon morceau préféré ne figure pas parmi les 3 morceaux joués~?
\item Combien de possibilités existe-t-il si l'on suppose que les 3 morceaux joués sont mes 3 préférés~?
\item Combien de possibilités existe-t-il si l'on suppose qu'aucun de mes 3 morceaux préférés ne figure parmi les 3 morceaux joués~?
\item Quelle est la probabilité pour que les 3 morceaux joués soient mes 3 préférés~?
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 365
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Au Loto \textregistered, un tirage est une succession de 6 boules numérotées. Les numéros sont compris entre 1 et 49.
\begin{enumerate}
\item Combien y a-t-il de tirages possibles~?
\item Combien de tirage ne contiennent que des numéros impairs~?
\item Combien de tirages contiennent le numéro 49~?
\item Combien de tirage ne contiennent que des numéros impairs dont le numéro 49~?
\item Combien de tirage ne contiennent que des numéros multiples de 3~?
\item Combien de tirage contiennent au moins un numéro multiple de 3~?
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 366
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit $E$ l'ensemble des nombres à quatre chiffres ne comportant aucun chiffre $0$.
Calculer :
\begin{enumerate}
\item le nombre d'éléments de $E$
\item le nombre d'éléments pairs de $E$
\item le nombre d'éléments de $E$ qui ont quatre chiffres différents
\item le nombre d'éléments de $E$ qui sont multiples de $5$
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 367
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Calculer les coefficients binomiaux suivants~:
\begin{eqnarray*}
a&=&{4\choose 2}\\
b&=&{6\choose 2}\\
c&=&{6\choose 4}\\
d&=&{6\choose 3}\\
e&=&{7\choose 3}\\
f&=&{15\choose 2}\\
g&=&{15 \choose 13}
\end{eqnarray*}

\end{exercice}


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%%%     Exercice 368
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Calculer les coefficients binomiaux suivants~:
\begin{eqnarray*}
h&=&{3\choose 0}\\
i&=&{2\choose 2}\\
j&=&{21\choose 1}\\
k&=&{17\choose 16}\\
l&=&{25\choose 3}\\
m&=&{16\choose 13}\\
\end{eqnarray*}

\end{exercice}


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%%%     Exercice 369
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit $E=\{a,b,c,d,e\}$.
\begin{enumerate}
\item Combien $E$ a-t-il de parties à $2$ éléments~?
\item Expliciter ces parties~?
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 370
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Un ensemble $E$ exactement $55$ parties à deux éléments. Quel est le cardinal de cet ensemble~?

\end{exercice}


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%%%     Exercice 371
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On considère des mains de trois cartes choisies dans un jeu de $32$ cartes.
\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre total de mains~?
\item Combien existe-t-il de mains ne contenant que du carreau~?
\item Combien y a-t-il de mains ne contenant que des cartes rouges~?
\item Combien y a-t-il de mains contenant au moins un roi~?
\item Combien y-a-t-il de mains contenant exactement un roi~?
\item Combien y-a-t-il de mains contenant trois rois~?
\item Combien de mains contiennent exactement deux rois~?
\item Combien de mains contiennent deux rois et un as~?
\item Combien de mains contiennent un roi rouge, un roi noir, et un as~?
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 373
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On considère des mains de cinq cartes choisies dans un jeu de $32$ cartes.
\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre total de mains~?
\item Combien existe-t-il de mains ne contenant que du carreau ou que du coeur~?
\item Combien y a-t-il de mains ne contenant que des cartes rouges~?
\item Combien y a-t-il de mains contenant au moins un roi~?
\item Combien y-a-t-il de mains contenant exactement un roi~?
\item Combien y-a-t-il de mains contenant au moins deux as~?
\item Combien de mains contiennent exactement deux as~?
\item Combien de mains contiennent deux coeurs et trois trèfles~?
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 374
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Cet exercice suppose quelques notions de tarot\ldots 
\begin{enumerate}
\item Au tarot à quatre joueurs, combien existe-t-il de chiens possibles~?
\item Combien existe-t-il de chiens contenant les trois bouts~?
\item En déduire la probabilité pour que le chien contienne les trois bouts. On donnera le résultat sous la forme $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers, puis on en donnera une écriture décimale approchée.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 375
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Dans cet exercice, on appelle mot toute suite de lettres, qu'il ait un sens ou non.
\begin{enumerate}
\item Combien de mots de 6 lettres ne contenant que des a et des b existe-t-il~?
\item Combien de mots de 6 lettres contenant 1 a et 5 b existe-t-il~?
\item Combien de mots de 6 lettres contenant 2 a et 4 b existe-t-il ?
\item Combien de mots de 6 lettres contenant 3 a et 3 b existe-t-il ?
\item Plus généralement, soient $(n,u,v)\in\mathbf N^3$ tels que $n=u+v$. Combien existe-t-il de mot de $n$ lettres contenant $u$ lettres a et $v$ lettres b~?
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 377
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Développer~:
\[(a+b)^7\]
\end{exercice}


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%%%     Exercice 378
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Développer~:
\[(a-b)^4\]
\end{exercice}


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%%%     Exercice 379
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Calculer~:
\[(1+\sqrt 2)^4+(1-\sqrt 2)^4\]
\end{exercice}


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%%%     Exercice 380
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On pose~:
\[f(x)=\sum_{k=0}^n {n\choose k} x^k\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(x)$.
\item En déduire~:
\[\sum_{k=0}^n {n\choose k} k x^{k-1}\]
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 381
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Calculer~:
\[A=\sum_{k=0}^n {n\choose k} 2^k 3^{n-k}\]
\[B=\sum_{k=0}^n {n\choose k} 2^k \]
\[C=\sum_{k=0}^n {n\choose k}  4^{n-k}\]
\[D=\sum_{k=0}^n {n\choose k} (-1)^k \]
\end{exercice}


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%%%     Exercice 382
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire $A=I+N$ où $N$ est une matrice à préciser.
\item Vérifier que $N^2=0_2$.
\item En déduire $A^n$ (pour $n\in\mathbf N$).
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 384
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit la matrice :
\[A=\begin{pmatrix} 1 & 1 &0 \\ 0 & 1&1\\ 0 &0 &1\end{pmatrix}\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice $N$ telle que $A=I+N$.
\item Vérifier que $N^3=0$.
\item En déduire $A^n$ pour $n\in\mathbf N$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 386
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit~:
\[A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1&-1\\ 0 &0 &1\end{pmatrix}\]
Calculer $A^n$ pour $n\in\mathbf N$.

\end{exercice}


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%%%     Exercice 387
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit~:
\[A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2&0\\ 0 &0 &2\end{pmatrix}\]
Calculer $A^n$ pour $n\in\mathbf N$.
\end{exercice}

\label{fin}
\end{document}