% fonctions de deux variables

\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[a4paper,centering,twocolumn,columnsep=1cm,width=18.6cm,height=26.31cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amssymb,amsthm,amsmath}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[pdftex]{color,graphicx}
\usepackage[pdftex,bookmarks=false,pdftitle=Feuille 17~: probabilités discrètes,pdfauthor=Pierre~Allken-Bernard,pdfsubject=Feuille~d'exercices, colorlinks=true,linkcolor=black,citecolor=red,filecolor=red,urlcolor=blue,pageanchor=false]{hyperref}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{patterns}

% Apparence des exercices
\newcounter{numexercice}
\newenvironment{exercice}{\stepcounter{numexercice}\textbf{\textsc{Exercice \thenumexercice}}\par}{\bigskip}

% Apparence des listes enumerate, itemize, ... (voir la documentation du package enumitem)
\setenumerate{leftmargin=*,topsep=0pt,itemsep=0pt}
\setenumerate[1]{label=\textbf{\arabic*.}}
\setenumerate[2]{label=\textbf{\alph*.}}
\setenumerate[3]{label=\textbf{\roman*.}}

%\newdateformat{monformat}{\twodigit{\theday}-\twodigit{\themonth}-\theyear}

\newcommand{\thetitle}{Feuille 18~: fonctions de deux variables}
\title{\textbf{\thetitle}}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\parindent=0pt
\pagestyle{fancy}
\lhead{\textbf{\today}} 
\chead{\textbf{\thetitle}}
\rhead{\textbf{\thepage/\pageref{fin}}}
\lfoot{\small \textit{Lycée Joachim du Bellay}}
\cfoot{\small \textit{Mathématiques, prépa ECE1}}
\rfoot{\small \textit{http://allken-bernard.org/pierre/ece}}
\renewcommand{\headrulewidth}{1.2pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exercice}
Représenter graphiquement les ensembles suivants. Dire dans chaque cas si l'ensemble est un ouvert de $\mathbf R^2$.
\begin{eqnarray*}
A&=&\{(x,y)\in\mathbf R^2, x+2y+1<0\}\\
B&=&\{(x,y)\in\mathbf R^2, x-y-1\ge 0\}\\
C&=&\{(x,y)\in\mathbf R^2, y-|x|\ge 0\}\\
D&=&\{(x,y)\in\mathbf R^2, |x|+|y|\le  1\}\\
E&=&\{(x,y)\in\mathbf R^2, |y-1|+x>0\}\\
F&=&\{(x,y)\in\mathbf R^2, x^2+y^2=4\}\\
G&=&\{(x,y)\in\mathbf R^2, x^2+y^2\le 1\}\\
H&=&\{(x,y)\in\mathbf R^2, (x-1)^2+(y-1)^2<1\}\\
I&=&\{(x,y)\in\mathbf R^2, x^2+y^2<1\textrm{ et }x>0\}\\
J&=&\{(x,y)\in\mathbf R^2, x^2+y^2<1\textrm{ ou }x>0\}\\
K&=&\{(x,y)\in\mathbf R^2, x^2<1\textrm{ et }x+y>1\textrm{ et }y<x\}\\
\end{eqnarray*}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Mettre en (in)équation(s) l'ensemble ouvert $U$ dessiné ci-dessous. Le bord courbe est un arc de cercle centré en l'origine~: on commencera par calculer son rayon.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[color=black,thin,->,>=stealth] (-0.5,0)--(3.5,0); % l'axe des abscisses
\draw[color= black,thin,->,>=stealth] (0,-0.5)--(0,3.5); % l'axe des ordonnées
\draw[color= black] (1,-0.05)--(1,0.05) node[below=5pt] {$1$}; % le point (1,0)
\draw[color= black] (-0.05,1)--(0.05,1) node[left=5pt] {$1$}; % le point (0,1)
\draw[color= black] (2,-0.05)--(2,0.05) ; % le point (2,0)
\draw[color= black] (-0.05,2)--(0.05,2) ; % le point (0,2)
\draw[color= black] (3,-0.05)--(3,0.05) ; % le point (3,0)
\draw[color= black] (-0.05,3)--(0.05,3) ; % le point (0,3)
\filldraw[color=white,pattern=north east lines] (1,1)--(3,1) arc (18.435:71.5651:3.1623) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Pour chaque fonction, donner son domaine de définition, sa régularité, et calculer ses deux dérivées partielles d'ordre 1 et ses quatre dérivées partielles d'ordre 2~:
\begin{eqnarray*}
a(x,y)&=&x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4\\
b(x,y)&=&\ln(x^2+y^2)\\
c(x,y)&=&(x^2+y^2)e^{-xy}\\
d(u,v)&=&(u^2-v)(3u^2-v)\\
e(s,t)&=&s^2+t^2+(3-s-t)^2\\
f(x,y)&=&y^2-3x^2y\\
g(x,y)&=&x(\ln y)^2+y^2\\
h(x,y)&=&(\ln y)^2+2\ln y+x^2\\
i(x,y)&=&\frac{x-y}{x^2+y}
\end{eqnarray*}
\end{exercice}

\begin{exercice}
\'Etudier, après avoir donné le domaine de définition et la régularité, les extremums locaux des fonctions suivantes~:
\begin{eqnarray*}
a(x,y)&=&x^2+xy+y^2\\
b(x,y)&=&x((\ln x)^2+y^2)\\
c(x,y)&=&x^2y+\ln(1+y^2)\\
d(x,y)&=&3xy-x^3-y^3\\
e(x,y)&=&x^3+3xy^2-15x-12y\\
f(x,y)&=&x^2-x+xy^2-xy\\
g(x,y)&=&\frac{1}{3}y^3-y^2+x^2y+x^3-3x^2-\frac{4}{3}
\end{eqnarray*}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur l'ouvert $U=]0,1[^2$ par $f(x,y)=(1-x)^4+(1-y)^4+(x+y)^4$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $U$ et calculer ses dérivées partielles d'ordre $1$.
\item Montrer que $f$ a un unique point critique $(x_0,y_0)$ et calculer ce point.
\item Calculer les dérivées partielles de $f$ d'ordre $2$ au point $(x_0,y_0)$. La fonction $f$ a-t-elle un extremum local en ce point~?
\end{enumerate}
\end{exercice}

\bigskip

\begin{exercice}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbf R^2$ par $g(x,y)=2e^{-x}+3x^2-2xy+y^2$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $g$ est de classe $\mathcal C^2$ sur $\mathbf R^2$.
\item Calculer les dérivées partielles d'ordre $1$ de $g$.
\item Démontrer que l'équation $2x-e^{-x}=0$ a une unique solution $\alpha\in \mathbf R$ (on pourra introduire une fonction auxiliaire).
\item Montrer que $g$ a un unique point critique qui est $M=(\alpha,\alpha)$.
\item Calculer les dérivées partielles d'ordre $2$ de $g$.
\item Montrer que $g$ présente en $M$ un minimum local de valeur $2\alpha(2+\alpha)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\label{fin}
\end{document}