% probabilités discrètes
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%%%     Feuille d'exercices de mathématiques au format LaTeX     %%%
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\documentclass[10pt]{article}
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\usepackage[pdftex,bookmarks=false,pdftitle=Feuille 17~: probabilités discrètes,pdfauthor=Pierre~Allken-Bernard,pdfsubject=Feuille~d'exercices, colorlinks=true,linkcolor=black,citecolor=red,filecolor=red,urlcolor=blue,pageanchor=false]{hyperref}

% Apparence des exercices
\newcounter{numexercice}
\newenvironment{exercice}{\stepcounter{numexercice}\textbf{\textsc{Exercice \thenumexercice}}\par}{\bigskip}

% Apparence des listes enumerate, itemize, ... (voir la documentation du package enumitem)
\setenumerate{leftmargin=*,topsep=0pt,itemsep=0pt}
\setenumerate[1]{label=\textbf{\arabic*.}}
\setenumerate[2]{label=\textbf{\alph*.}}
\setenumerate[3]{label=\textbf{\roman*.}}

%\newdateformat{monformat}{\twodigit{\theday}-\twodigit{\themonth}-\theyear}

\newcommand{\thetitle}{Feuille 17~: probabilités discrètes}
\title{\textbf{\thetitle}}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\parindent=0pt
\pagestyle{fancy}
\lhead{\textbf{\today}} 
\chead{\textbf{\thetitle}}
\rhead{\textbf{\thepage/\pageref{fin}}}
\lfoot{\small \textit{Lycée Joachim du Bellay}}
\cfoot{\small \textit{Mathématiques, prépa ECE1}}
\rfoot{\small \textit{http://allken-bernard.org/pierre/ece}}
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\maketitle
\thispagestyle{fancy}

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%%%     Exercice 517
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On lance une pièce équilibrée indéfiniment. On pose~:
\[A=\text{\og{}on n'obtient que des piles\fg{}}\]
Et, pour tout $n\in\mathbf N^*$~:
\[A_n=\text{\og{}on obtient face au $n$-\`eme lancer\fg{}}\]
\[B_n=\text{\og{}on obtient le premier face au $n$-\`eme lancer\fg{}}\]
\begin{enumerate}
\item Exprimer $B_n$ en fonction de $A_1,A_2,\ldots,A_n$.
\item En déduire $P(B_n)$.
\item Exprimer $\overline A$ en fonction des $B_n$.
\item En déduire $P(A)$. Comment appelle-t-on un tel événement~$A$~?
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 518
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]\begin{enumerate}
\item Un tirage au Loto est une combinaison (l'ordre ne compte pas) de 6 numéros distincts compris entre 1 et 49. Quelle est la probabilité (on donne : ${49\choose 6}=13 983 816$), notée $p$ dans la suite, de gagner (c.a.d. d'avoir les 6 bons numéros) au Loto~?
\item On joue au loto indéfiniment et on définit une évènement en posant~:
\[A=\text{\og{}on gagne au moins une fois\fg{}}\]
Et, pour tout $n\in\mathbf N^*$~:
\[A_n=\text{\og{}on gagne pour la premi\`ere fois au $n$-\`eme tirage\fg{}}\]
\[B_n=\text{\og{}on gagne au $n$-\`eme tirage\fg{}}\]
\item Exprimer $A_n$ à l'aide des $B_k$. En déduire $P(A_n)$ en fonction de~$p$.
\item En déduire $P(A)$ en exprimant $A$ à l'aide des $A_n$. Comment appelle-t-on un tel~$A$~?
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 519
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Bob et Toto lancent une même pièce équilibrée à tour de rôle. C'est Bob qui commence.
Le premier joueur qui obtient face gagne la partie. 
\begin{enumerate}
\item Qui, selon vous, a le plus de chances de gagner~? On ne demande pas de justification (pour l'instant).
\item On pose~:
\[B=\textrm{"Bob gagne"}\]
\[T=\textrm{"Toto gagne"}\]
\[F=\textrm{"le jeu se termine"}\]
Et, pour tout $n\in\mathbf N^*$, on note~:
\[A_n=\textrm{"le $n$-\`eme lancer a donn\'e face"}\]
\[A'_n=\textrm{"le $n$-\`eme lancer a donn\'e le premier face"}\]
\begin{enumerate}
\item Exprimer $A'_n$ en fonction des $A_k$. En déduire $P(A'_n)$.
\item Exprimer $F$ en fonction des $A'_n$. En déduire $P(F)$. Que dire de $F$~?
\item Exprimer $B$ en fonction des $A'_n$. En déduire $P(B)$.
\item Calculer $P(T)$ de deux manières.
\item Justifier la réponse à la question 1.
\item Si Bob perd, il donne 2 euros à Toto. Si Toto perd, il donne 1 euro à Bob. Soit $X$ le gain algébrique de Toto. Déterminer l'espérance de $X$. Toto a-t-il intérêt à jouer~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 520
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On lance une pièce une infinité de fois. La pièce n'est pas nécessairement équilibrée : elle donne \og pile\fg{} (P) avec une probabilité $p\in]0,1[$ et \og face\fg{} (F) avec la probabilité $q=1-p$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n\ge 1$, on note $A_n$ l'événement \og on obtient la séquence PF pour la première fois aux lancers $n$ et $n+1$\fg{} et $B_n$ l'événement \og{} on obtient P au lancer $n$\fg{}. Exprimer $A_n$ à l'aide des $B_k$ puis calculer la probabilité de $A_n$.
\item Soit $A$ l'événement \og on obtient PF au moins une fois\fg{}. Calculer $P(A)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 31
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On lance deux dés équilibrés et on répète ceci indéfiniment. Quelle est la probabilité pour que le premier six obtenu le soit à l'occasion d'un double six~?
\end{exercice}


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%%%     Exercice 521
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]%HEC 1998
On effectue une suite de lancers avec une pi\`{e}ce de monnaie. On
suppose que les r\'{e}sultats des lancers sont ind\'{e}pendants et que,
\`{a} chaque lancer, la pi\`{e}ce donne face avec la probabilit\'{e} $p$
($0<p<1$) et pile avec la probabilit\'{e} $q=1-p$. L'objet de l'exercice est l'\'etude du nombre de lancers n\'ecessaires pour
obtenir deux faces de suite, c'est à dire lors de deux lancers cons\'ecutifs. Pour tout entier $n\ge 1$ on note $U_{n}$ l'\'{e}v\'{e}nement: \og{}on obtient deux faces de suite, pour
la premi\`{e}re fois aux lancers num\'{e}ros $n$ et $n+1$\fg{}, et on pose $u_{n}=P(U_{n})$. Pour tout entier $n\ge 2$, on note~:

\begin{itemize}
\item  $A_{n}$ l'\'{e}v\'{e}nement: \og{}les $n$ premiers lancers ne donnent pas
deux faces de suite et le $n^{i\grave{e}me}$ lancer donne face\fg{}.

\item  $B_{n}$ l'\'{e}v\'{e}nement: \og{}les $n$ premiers lancers ne donnent pas
deux faces de suite et le $n^{i\grave{e}me}$ lancer donne pile\fg{}.
\end{itemize}

et on pose $x_{n}=P(A_{n})$ et $y_{n}=P(B_{n})$.

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Compr\'{e}hension}

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer $u_{1},$ $x_{2},$ $y_{2},$ $u_{2},$ $x_{3},$ $y_{3}$
et $u_{3}$.

\item  Trouver, pour $n\ge 2$, une relation simple entre $x_{n}$ et $u_{n}$.

\item  Pour tout $n\ge 2$ d\'{e}terminer les probabilit\'{e}s
conditionnelles~: 
\[P_{A_n}(A_{n+1}),\; P_{B_n}(A_{n+1}),\; P_{A_n}(B_{n+1}),\; P_{B_n}(B_{n+1})\]

\item  En d\'{e}duire, pour tout $n\ge 2$, les relations de r\'{e}currence
suivantes~:
\[\left\{ 
\begin{array}{c}
x_{n+1}=p\cdot y_{n} \\ 
y_{n+1}=q\left( x_{n}+y_{n}\right) 
\end{array}
\right.\]
\end{enumerate}

\item  \textbf{On suppose maintenant que $p=q=1/2$}

\begin{enumerate}
\item  Soit $(f_{n})_{n\ge 0}$ la suite de nombres entiers d\'{e}finie par
les conditions~: $f_{0}=1$, $f_{1}=1$ et pour tout entier $n\ge 0$, $f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}$. D\'{e}terminer pour tout entier $n\ge 2$\quad $y_{n+2}$ en fonction de $y_{n+1}$ et de $y_{n}$. Montrer que, pour tout entier $n\ge 2$, on a $2^{n}y_{n}=f_{n}$.
\item  On pose $\alpha ={\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ et $\beta ={\frac{1-\sqrt{5}}{2}}$. Montrer que l'on a pour tout $n\ge 0$, $f_{n}=\frac{\alpha ^{n+1}-\beta {\ }^{n+1}}{\alpha -\beta }$.
\item  En d\'{e}duire que pour tout entier $n\ge 2$, une expression de $x_{n}
$, puis de $u_{n}$ en fonction de $n$, $\alpha$, $\beta$.
\item  Montrer que $\displaystyle \lim_{N\to +\infty} \sum_{n=1}^{N}u_{n}=1$.
\item Soit $U$ l'évènement \og{}on obtient, au moins une fois, deux faces de suite\fg{}. Quelle est la probabilité de $U$~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 523
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On r\'{e}alise une suite de lancers d'une pi\'{e}ce \'{e}quilibr\'{e}e, chaque lancer amenant donc pile ou face avec une probabilit\'{e} 1/2. On note $P_{k}$ (resp. $F_{k}$ ) l'\'{e}v\'{e}nement : \og on obtient pile (resp. face) au $k^{\acute{e}me}$ lancer\fg. Pour ne pas surcharger l'\'{e}criture, on \'{e}crira, par exemple, $P_{1}F_{2}$ \`{a} la place de $P_{1}\cap F_{2}$. On note $X$ la variable al\'{e}atoire qui prend la valeur $k$ si l'on obtient pour la premi\'{e}re fois pile puis face dans cet ordre aux lancers $k-1$ et $k$ ($k$ d\'{e}signant un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2), $X$ prenant la valeur $0$ si l'on obtient jamais une telle succession.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $P(X=2)$
\item En remarquant que $(X=3)=P_{1}P_{2}F_{3}\cup F_{1}P_{2}F_{3}$, calculer $P(X=3)$.
\item Sur le mod\'{e}le de la question pr\'{e}c\'{e}dente, \'{e}crire, pour tout entier $k$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 3, l'\'{e}v\'{e}nement $(X=k)$ comme r\'{e}union de $(k-1)$ \'{e}v\'{e}nements incompatibles.
\item D\'{e}terminer P$(X=k)$ pour tout entier $k$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2.
\item Calculer P$(X=0)$.
\end{enumerate}
\item On se propose, dans cette question, de retrouver les résultats précédents par une autre méthode.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, $k$ d\'{e}signant un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 3, si le premier lancer est un pile, alors il faut et il suffit que $P_{2}P_{3}\dots P_{k-1}F_{k}$ se r\'{e}alise pour que $(X=k)$ se r\'{e}alise.
\item En d\'{e}duire, en utilisant la formule des probabilit\'{e}s totales que~:
\[\forall k\geq 3\qquad P(X=k)=\dfrac{1}{2}P(X=k-1)+\dfrac{1}{2^{k}}\]
\item On pose, pour tout entier $k$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2, $u_{k}=2^{k}P(X=k)$. Montrer que la suite $(u_{k})_{k\geq 2}$ est arithm\'{e}tique. Retrouver alors $P(X=k)$ pour $k\ge 2$.
\end{enumerate}
\item Montrer que $X$ a une esp\'{e}rance $E(X)$, puis la calculer.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 524
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Dans tout l'exercice $n$ d\'{e}signe un entier naturel non nul.
\begin{enumerate}
\item On d\'{e}finit $S_{n}=\sum_{i=0}^{n}\binom{2n}{n+i}=\binom{2n}{n}+\binom{2n}{n+1}+\cdots +\binom{2n}{2n}$
\begin{enumerate}
\item Calculer $S_{1},\ S_{2},\ S_{3}$
\item Montrer que $\sum_{i=0}^{2n}\binom{2n}{i}=2^{2n}$
\item Montrer que $S_{n}=2^{2n-1}+{\frac{1}{2}}\binom{2n}{n}$.
\end{enumerate}
\item Pour $p$ entier naturel non nul, on pose $\displaystyle u_{p}={\frac{\binom{2p}{p}}{2^{2p}}}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul, $\displaystyle u_{p+1}={\frac{2p+1}{2p+2}}u_{p}$. En d\'{e}duire, par r\'{e}currence, que, pour tout $p$ entier naturel non nul~:
\[u_{p}\le {\frac{1}{\sqrt{2p+1}}}\]
\item D\'{e}termier $\lim\limits_{p\rightarrow +\infty }u_{p}$.
\end{enumerate}
\item On \'{e}tudie le cours en bourse d'une action. On suppose les variations journali\`{e}res ind\'{e}pendantes les unes des autres. On convient de noter 0 le cours correspondant au d\'{e}but de l'observation, et on suppose que, chaque jour, le cours monte d'une unit\'{e} (+1) avec une probabilit\'{e} $p$ ($0<p<1$) ou descend d'une unit\'{e} (-1) avec la probabilit\'{e} $q=1-p$. On note $X_{2n}$ le cours constat\'{e} le $2n^{i\grave{e}me}$ jour suivant le d\'{e}but de l'observation. Par exemple, si $n=2$ et que le cours a baiss\'{e} les trois premiers jours et mont\'{e} le quatri\`{e}me jour, on a $X_{4}=-1-1-1+1=-2$.
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs prises par $X_{4}?$ Plus g\'{e}n\'{e}ralement, quelles sont les valeurs prises par $X_{2n}$~?
\item On note $Y_{2n}$ le nombre de jours (durant les $2n$ jours d'observation) o\`{u} l'action a mont\'{e}, et $Z_{2n}$ le nombre de ceux o\`{u} elle a baiss\'{e}. Quelles sont les lois de probabilit\'{e} de $Y_{2n}$ et $Z_{2n}$~? Donner leurs esp\'{e}rances.
\item Quelles relations lient, d'une part $n$, $Y_{2n}$ et $Z_{2n}$, et d'autre part $X_{2n}$, $Y_{2n}$ et $Z_{2n}$~? En d\'{e}duire une expression de $X_{2n}$ en fonction de $Y_{2n}$ et de $n$. Quelle est l'espérance de $X_{2n}$~? Que vaut-elle si $p=1/2$~? Est-ce surprenant~? Montrer que les valeurs de $X_{2n}$ sont $\left \{ 2k,k\in \left[ \left[ -n,n\right] \right] \right \} $. (i.e. les valeurs paires de $-2n$ \`{a} $2n$ ). Montrer que~:
\[\forall k\in \left[ \left[ -n,n\right] \right] ,\quad p\left(X_{2n}=2k\right) =\binom{2n}{n+k}p^{n+k}q^{n-k}\]
\item On suppose, dans cette question que $p=1/2$ et on note $p_{n}$ la probabilit\'{e} que l'action ait mont\'{e} ou soit rest\'{e} stable \`{a} l'issue de $2n$ jours d'observation. Montrer que~: $\displaystyle p_{n}={\frac{1}{2}}+{\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n+1}}}$. Que valent $p_{1}$, $p_{2}$, $p_{3}$~? Que se passe-t-il quand $n$ devient grand~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 525
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$, de six boules num\'{e}rot\'{e}es de $1$ \`{a} $6$ ainsi que d'un d\'{e} \'{e}quilibr\'{e}. Initialement l'urne $U_1$ contient les boules 1 et 2, l'urne $U_2$ contient les boules $3, 4, 5$ et 6. On appelle \'{e}change l'exp\'{e}rience consistant \`{a} lancer une fois le d\'{e} et \`{a} changer d'urne la boule portant le num\'{e}ro obtenu avec le d\'{e}.
Pour $n\in \Bbb{N}^{*}$, on note $X_{n}$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre de boules contenues dans $U_1$ apr\`{e}s $n$ \'{e}changes successifs.
\begin{enumerate}
\item  Les cinq premiers lancers du d\'{e} donnent: $1, 3, 2, 3, 5$. Quel est le contenu de l'urne $U_1$ \`{a} l'issue du cinqui\`{e}me \'{e}change~?
\item  Quelle est la loi de $X_{1}$? Calculer son esp\'{e}rance $E(X_{1})$.
\item 
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer la loi du couple $(X_{1},X_{2}).$ En d\'{e}duire la loi de $X_{2}$.
\item  Calculer la covariance du couple $(X_{1},X_{2})$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout entier $n$ de $\Bbb{N}^{*}$on a :
\[P(X_{n+1}=0)={\frac{1}{6}}P(X_{n}=1)\]
et pour tout entier $k$, $1\le k\le 5$~:
\begin{align*}
P(X_{n+1}=k)={\frac{7-k}{6}}P(X_{n}=k-1)\\
+{\frac{k+1}{6}}P(X_{n}=k+1)
\end{align*}
et enfin
\[P(X_{n+1}=6)={\frac{1}{6}}P(X_{n}=5)\]
\item  En d\'{e}duire que pour tout entier $n$ non nul : 
\[E(X_{n+1})={\frac{2}{3}}E(X_{n})+1\]
\item  Calculer alors $E(X_{n})$ en fonction de $n$ puis~:
\[\lim_{n\rightarrow +\infty }E(X_{n})\]
Comment interprétez-vous ce résultat~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 4
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]% EML 1998

Une urne contient des boules vertes et des boules blanches, indiscernables au toucher. La proportion de boules vertes est $p$, $0<p<1$; la proportion de boules blanches est $1-p$. On effectue une suite de tirages successifs d'une boule avec remise (Toute boule tirée de l'urne y est remise avant de procéder au tirage suivant).
\begin{enumerate}
\item  On note $N_V$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première boule verte, et $N_{B}$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première boule blanche.
\begin{enumerate}
\item  Quelles sont les lois des variables aléatoires $N_{V}$ et $N_{B}$~?
\item  Les variables aléatoires $N_{V}$ et $N_{B}$ sont-elles indépendantes ?
\end{enumerate}
On définit le couple de variables aléatoires $(X,Y)$ à valeurs dans $(\mathbf N^*)^2$ de la façon suivante~:\\
pour tout $(i,j)\in (\mathbf N^*)^2$,$\left(X=i\text{ et }Y=j\right)$ est l'événement~:
\og{}les $i$ premières boules tirées sont blanches, les $j$ suivantes sont vertes et la $(i+j+1)^{\mathrm{ieme}}$est blanche \textbf{ou} les $i$ premières boules tirées sont vertes, les $j$ suivantes sont blanches et la $(i+j+1)$-ème\fg{}. Par exemple, pour la suite de tirages $BBBVVBVBB\cdots $ (où $V$ est mis pour vert et $B$ pour blanc), on a $X=3$ et $Y=2$.
\item \begin{enumerate}
\item  Déterminer la loi de la variable aléatoire $X$.
\item  Montrer que la variable aléatoire $X$ admet une espérance et que~:
\[E(X)=\frac{p}{1-p}+\frac{1-p}{p}\]
\item  Montrer que $E(X)$ est minimale lorsque $p=\frac{1}{2}$, et calculer cette valeur minimale.
\end{enumerate}
\item  Montrer, pour tout $(i,j)\in(\mathbf N^*)^2$~: 
\[P(X=i\text{ et }Y=j)=p^{i+1}(1-p)^j+(1-p)^{i+1}p^j\]
\item \begin{enumerate}
\item  En déduire la loi de la variable aléatoire $Y$.
\item  Montrer que la variable aléatoire $Y$ admet une espérance que l'on calculera.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  \'Etablir que, si $p\neq \frac{1}{2}$, les variables aléatoires $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes (on pourra envisager $P(X=1$ et $Y=1)$).
\item  Démontrer que, si $p=\frac{1}{2}$, les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 23
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]% ESC 2001 (T)

\textbf{Partie 1.}\\
On considère dans $\mathcal{M}_{3}(\mathbf R)$ les quatre matrices suivantes~:
\[M=\frac{1}{4}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
3 & 3 & 1 \\ 
0 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\qquad P=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
-2 & 1 & -1 \\ 
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\]
\[D=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\qquad
I=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $P$ est inversible et calculer $P^{-1}$.
\item Vérifier que $P^{-1}MP=D$ puis exprimer $M$ en fonction de $P,D$ et $P^{-1}$.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer les coefficients de la
matrice $D^n$.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $M^n$ en fonction de $P$ , $D^n$ et $P^{-1}$. En déduire les coefficients de $M^n$ en fonction de $n$.
\item Montrer que~$D$ est inversible et calculer~$D^{-1}$.
\item En déduire que~$M$ est inversible et exprimer~$M^{-1}$en fonction de~$P$,~$D^{-1}$ et~$P^{-1}$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie 2.}\\
On effectue des tirages dans trois urnes~:
\begin{itemize}
\item Une urne blanche contient une boule blanche et trois boules noires.
\item Une urne noire contient trois boules noires et une boule verte.
\item Une urne verte contient une boule noire et trois boules vertes.
\end{itemize}
Pour le premier tirage, on choisit une urne au hasard, on y prend une boule, on note sa couleur puis on remet la boule dans l'urne dont elle provient. Le second tirage a lieu dans l'urne ayant la même couleur que la première boule obtenue au premier tirage: on y prend une boule, on note sa couleur puis on remet la boule dans l'urne dont elle provient. On continue ainsi en suivant le même protocole~: le $(n+1)$-ème tirage s'effectue dans l'urne ayant la même couleur que la boule obtenue au $n$-ème tirage, et une boule tirée est toujours remise dans l'urne dont elle provient. Pour tout $n$, entier naturel non nul, on désigne par~:
\begin{itemize}
\item[$B_n$] l'événement~: \og le $n$-ième tirage donne une boule blanche\fg.
\item[$N_n$] l'événement~: \og le $n$-ième tirage donne une boule noire\fg.
\item[$V_n$] l'événement~: \og le $n$-ième tirage donne une boule verte \fg.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(B_1)$, $P(N_1)$, et $P(V_1)$.
\item établir que $P(B_2)=\frac{1}{48}$ et $P(N_2)=\frac{7}{12}$.
\item Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$~:
\[P(B_{n+1})=\frac {1}{4}P(B_{n})\]
En déduire $P(B_n)$ en fonction de $n$.
\item Soit $M$ la matrice définie à la partie 1. On pose~:
\[X_n=
\begin{pmatrix}
P(B_n) \\ 
P(N_n) \\ 
P(V_n)
\end{pmatrix}\]
En utilisant le système complet d'événements $B_n,N_n,V_n$, établir que~:
\[X_{n+1}=MX_n\]
pour tout entier naturel $n$ non nul.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul~:
\[X_n=M^{n-1}X_1\]
\item En déduire $P(N_n)$ et $P(V_n)$ en fonction de $n$ et déterminer leurs limites quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 28
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]% EDHEC 2007

On lance une pièce équilibrée (la probabilité d'obtenir \og{}pile\fg{} et celle d'obtenir \og{}face\fg{} étant toutes deux égales à $\frac{1}{2}$) et on note $Z$ la variable aléatoire égale au rang du lancer où l'on obtient le premier \og{}pile\fg{}. Après cette série de lancers, si $Z$ a pris la valeur $k$ ($k\in \mathbf N^\ast$), on remplit une urne de $k$ boules numérotées 1, 2, \ldots, k, puis on extrait au hasard une boule de cette urne. On note $X$ la variable aléatoire égale au numéro de la boule tirée après la procédure décrite ci-dessus.
\begin{enumerate}
\item On décide de coder l'événement \og{}obtenir un \og{}pile\fg{}\fg{} par $1$ et l'événement \og{}obtenir un \og{}face\fg{}\fg{} par $0$. On rappelle que la fonction \texttt{random }renvoie, pour un argument $k$ de type \texttt{integer} (où $k$ désigne un entier supérieur ou égal à $1$) un entier aléatoire compris entre $0$ et $k-1$. Compléter le programme suivant pour qu'il affiche la valeur prise par $Z$ lors de la première partie de l'expérience décrite ci-dessus~:\\
\parindent=0.6cm
\indent\texttt{program probleme;}\\
\indent\texttt{var z,hasard:integer;}\\
\indent\texttt{begin}\\
\indent\indent\texttt{randomize;}\\
\indent\indent\texttt{z:=0;}\\
\indent\indent\texttt{repeat}\\
\indent\indent\indent\texttt{z:=\ldots \ldots \ldots ;}\\
\indent\indent\indent\texttt{hasard:=\ldots \ldots \ldots ;}\\
\indent\indent\texttt{until (hasard=1);}\\
\indent\indent\texttt{writeln(z);}\\
\indent\texttt{end.}
\parindent=0pt
\item Quelles instructions faut-il rajouter avant la dernière ligne de ce programme pour qu'il simule l'expérience aléatoire décrite dans ce problème et affiche la valeur prise par la variable aléatoire $X$~?
\item Comparer $\frac{1}{k}\left( \frac{1}{2}\right) ^{k}$ à $\left(\frac{1}{2}\right)^k$ ($k\in\mathbf N^*$). En déduire la convergence de la série de terme général $\frac{1}{k}\left( \frac{1}{2}\right)^{k}$ ($k\in\mathbf{N}^{\ast }$).
\item Rappeler la loi de $Z$ ainsi que son espérance et sa variance.
\item Pour tout couple $(i,k)$ de $\mathbf{N}^{\ast }\times \mathbf{N}^{\ast }$, déterminer la probabilité conditionnelle $P_{(Z=k)}(X=i)$.
\item En déduire que $\forall i\in \mathbf{N}^{\ast}$~:
\[P(X=i)=\sum_{k=i}^{+\infty }\frac{1}{k}\left(\frac{1}{2}\right)^k\]
\item On admet dans cette question que $\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\sum\limits_{k=i}^{+\infty }=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\sum\limits_{i=1}^{k}$. Vérifier que~:
\[\sum_{i=1}^{+\infty }P(X=i)=1\]
\item Montrer que, pour tout entier naturel $i$ non nul, on a~:
\[|i P(X=i)|\le \left(\frac{1}{2}\right) ^{i-1}\]
\item En déduire que $X$ possède une espérance.
\item Montrer, en admettant qu'il est licite de permuter les symboles $\sum $ comme précédemment, que $E(X) =\frac{3}{2}$.
\item Montrer que $X$ a un moment d'ordre 2, c'est-à-dire que $X^2$ admet une espérance.
\item \'Etablir, alors, toujours en admettant qu'il est licite de permuter les symboles $\sum$ comme précédemment, que~:
\[E(X^2) =\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{+\infty }(k+1)(2k+1)\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\]
\item Déterminer les réels $a,b$ et $c$ tels que~:
\[\forall k\in \mathbf{N}^{\ast },\quad ( k+1)(2k+1) =ak(k-1) +bk+c\]
\item En déduire la valeur de $E(X^2)$ et vérifier que $V(X) =\frac{11}{12}$.
\item On se propose de calculer $P(X=1)$, $P(X=2)$ et $P(X\ge 3)$.
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire explicitement en fonction de $x$, réel différent de $1$, et $n$, entier naturel non nul, la somme $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}x^{k-1}}$.
\item En déduire que~:
\[\forall n\in \mathbf{N}^*,\quad\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\left( \frac{1}{2}\right) ^{k}=\ln(2)-\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{x^{n}}{1-x}\,\mathrm dx\]
\item Montrer que~:
\[\forall n\in \mathbf N^*,\quad 0\le \int_0^{\frac{1}{2}}\frac{x^n}{1-x}\,\mathrm dx\le \left(\frac{1}{2}\right)^n\]
En déduire la valeur de~:
\[\lim_{n\to +\infty}\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{x^n}{1-x}\,\mathrm dx\]
\item Etablir alors que $P(X=1)=\ln(2)$, puis donner la valeur de $P(X=2)$.
\item Utiliser les résultats précédents pour calculer $P(X\ge 3)$, puis donner une valeur approchée de $P(X\ge 3)$ en prenant $\ln(2)\simeq 0,7$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\label{fin}
\end{document}