% séries
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%%%     Feuille d'exercices de mathématiques au format LaTeX     %%%
%%%     créée le Mon, 30 Mar 2009 17:38:40 +0200                 %%%
%%%     sur http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices      %%%
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%%%     Pour le compiler, c.a.d. fabriquer le fichier PDF),      %%%
%%%     utiliser la commande : pdflatex fichier                  %%%
%%%     (fonctionne sous Linux avec la distribution texlive)     %%%
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\documentclass[10pt]{article}
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\usepackage{amssymb,amsthm,amsmath}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[pdftex]{color,graphicx}
\usepackage[pdftex,bookmarks=false,pdftitle=Feuille~16~: séries,pdfauthor=Pierre~Allken-Bernard,pdfsubject=Feuille~d'exercices, colorlinks=true,linkcolor=black,citecolor=red,filecolor=red,urlcolor=blue,pageanchor=false]{hyperref}

% Apparence des exercices
\newcounter{numexercice}
\newenvironment{exercice}{\stepcounter{numexercice}\textbf{\textsc{Exercice \thenumexercice}}\par}{\bigskip}

% Apparence des listes enumerate, itemize, ... (voir la documentation du package enumitem)
\setenumerate{leftmargin=*,topsep=0pt,itemsep=0pt}
\setenumerate[1]{label=\textbf{\arabic*.}}
\setenumerate[2]{label=\textbf{\alph*.}}
\setenumerate[3]{label=\textbf{\roman*.}}

%\newdateformat{monformat}{\twodigit{\theday}-\twodigit{\themonth}-\theyear}

\newcommand{\thetitle}{Feuille~16~: séries}
\title{\textbf{\thetitle}}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\parindent=0pt
\pagestyle{fancy}
\lhead{\textbf{\today}} 
\chead{\textbf{\thetitle}}
\rhead{\textbf{\thepage/\pageref{fin}}}
\lfoot{\small \textit{Lycée Joachim du Bellay}}
\cfoot{\small \textit{Mathématiques, prépa ECE1}}
\rfoot{\small \textit{http://allken-bernard.org/pierre/ece}}
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\maketitle
\thispagestyle{fancy}

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%%%     Exercice 507
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Calculer les sommes de séries suivantes~:
\begin{eqnarray*}
A&=&\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{2^k}\\
B&=&\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{4}{5^k}\\
C&=&\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{2}{3^{k+1}}\\
D&=&\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\cdots\\
E&=&\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k}{5^{k-1}}\\
F&=&\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{2^n}\\
G&=&\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n(n-1)}{3^n}\\
H&=&\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^2}{5^n}\\
I&=&\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^nn}{3^n}\\
J&=&\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{e^{-\lambda}\lambda^n }{n!}\quad (\lambda\in\mathbf R)\\
K&=&\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}\\
L&=&\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\\
M&=&\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n)!}\quad \textrm{(utiliser $K$ et $L$)}\\
N&=&\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{2^k}{(k+1)!}\\
O&=&\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k2^k}{k!}\\
P&=&\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k2^k}
\end{eqnarray*}
\end{exercice}

\newpage

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%%%     Exercice 516
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]\begin{enumerate}
\item Montrer, à l'aide du théorème des accroissements finis, que, pour tout $k\in\mathbf N^*$ :
\[\ln(k+1)-\ln(k)\le \frac{1}{k}\]
\item En déduire que, pour tout $n\in\mathbf N^*$ :
\[\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \ge \ln(n+1)\]
\item En déduire la nature de la série $\displaystyle{\sum\limits_{k\ge 1} \dfrac{1}{k}}$.
\item Donnez explicitement un entier $n$ tel que $\displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}\ge 10}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 509
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On considère la série numérique $\displaystyle{\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n(n+1)}}$. On note $S_N$ sa $N$-ème somme partielle.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $\forall N\in \mathbf{N}^*,\quad S_{N}=1-\frac{1}{N+1}.$
\item En déduire que la série initiale converge et calculer sa somme :
\[\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n(n+1)}\]
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 510
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On considère la série numérique :
\[\sum_{n\ge 1} \frac{1}{4n^{2}-1}\]
et on note $S_N$ sa $N$-ème somme partielle.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que :
\[\frac{1}{4n^{2}-1}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\] 
\item Montrer que :
\[S_{N}=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{2N+1}\right)\]
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 511
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On considère la série numérique :
\[\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^{2}}\]
On note $T_{N}$ sa $N$-ème somme partielle.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que :
\[\forall n\ge 2,\quad \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\le \frac{1}{n^{2}}\le \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\]
\item En déduire que :
\[\forall N\ge 2,\quad \frac{3}{2}-\frac{1}{N+1}\le T_{N}\le 2-\frac{1}{N}\]
\item Montrer que la suite $(T_{N})$ est majorée.
\item Déterminer la monotonie de la suite $(T_{N})_{N\ge 2}.$
\item En déduire la convergence de la série initiale.
\item \'Etablir l'encadrement suivant :
\[\frac{3}{2}\le \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^{2}}\le 2\]
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 512
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On considère la série numérique :
\[\sum_{n\ge 0}\frac{1}{e^{n}+e^{-n}}\]
On note $S_{N}$ la $N$-ème somme partielle de cette série.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la monotonie de la suite $(S_{N})_{N\ge 0}.$
\item Justifier que :
\[\forall n\ge 0,\quad \frac{1}{e^{n}+e^{-n}}\le e^{-n}\]
\item En déduire que :
\[\forall N\ge 0,\quad S_{N}\le \frac{1-e^{-(N+1)}}{1-e^{-1}}\]
\item Montrer que la série initiale converge et que l'on a l'encadrement suivant pour sa somme : 
\[\frac{1}{2}\le \sum_{n=0}^{+\infty }\frac{1}{e^{n}+e^{-n}}\le \frac{e}{e-1}\]
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 513
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On considère la série :
\[\sum_{n\ge 1}\frac{1}{\sqrt{n}}\]
On note $T_{N}$ sa $N$-ème somme partielle.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier $n\ge 1$ :
\[2\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) \le 
\frac{1}{\sqrt{n}}\le 2\left( \sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\]
\item En déduire :
\[\forall N\ge 1,\quad 2\left( \sqrt{N+1}-1\right) \le T_{N}\le 2\sqrt{N}\]
\item La série initiale est-elle convergente ?
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 514
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On considère la série :
\[\sum_{n\ge 0}\frac{(-1)^{n}}{n+1}\]
On note $S_{N}$ sa $N$-ème somme partielle de la série. On pose :
\[I_{n}=\int_{0}^{1}\frac{t^{n}}{1+t}\mathrm dt\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que :
\[\forall n\in \mathbf{N},\quad 0\le I_{n}\le \frac{1}{n+1}\]
En déduire la limite de la suite $(I_{n})$.
\item Vérifier que :
\[\forall n\in \mathbf{N},\quad I_{n}+I_{n+1}=\frac{1}{n+1}\]
\item Montrer que :
\[\forall N\ge 0,\quad S_{N}=I_{0}-(-1)^{N+1}I_{N+1}\]
\item En déduire que la série initiale converge et que sa somme est donnée par :
\[\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{(-1)^{n}}{n+1}=\ln 2\]
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 515
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Le but de cet exercice est de (re)montrer que la série harmonique $\displaystyle{\sum\limits_{k\ge 1} \frac{1}{k}}$ diverge.
\begin{enumerate}
\item Soit $k\in\mathbf N^*$. Majorer $\frac{1}{x}$ par une constante pour $x\in [k,k+1]$.
\item En déduire, par intégration, que $\ln(k+1)-\ln(k)\le \dfrac{1}{k}$.
\item Montrer, par récurrence, que, pour tout $n\in\mathbf N^*$ :
\[\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \ge \ln(n+1)\]
\item Démontrer que la série harmonique diverge 
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 508
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]\'Etudier la nature de chaque série en commençant par trouver un équivalent simple de son terme général :
\begin{eqnarray}
&&\sum_{k\ge 0} \frac{1}{k+3}\\
&&\sum_{k\ge 2}\frac{1}{k^2-k}\\
&&\sum_{k\ge 0} \frac{k}{(k+1)\sqrt{k+1}}\\
&&\sum_{k\ge 0}\frac{(k+1)^3}{k^4 \sqrt{k}}\\
&&\sum_{k\ge 0}\frac{1}{e^k+e^{-k}}\\
&&\sum_{k\ge 0}\frac{1}{k+2^k}\\
&&\sum_{k\ge 0}\frac{1}{k+2^{-k}}
\end{eqnarray}
\end{exercice}

\label{fin}
\end{document}