% intégration
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%%%     Feuille d'exercices de mathématiques au format LaTeX     %%%
%%%     créée le Wed, 11 Mar 2009 10:15:06 +0100                 %%%
%%%     sur http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices      %%%
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%%%     Pour le compiler, c.a.d. fabriquer le fichier PDF),      %%%
%%%     utiliser la commande : pdflatex fichier                  %%%
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\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[a4paper,centering,twocolumn,columnsep=1cm,width=18.6cm,height=26.31cm,includeheadfoot]{geometry}
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\usepackage{mathptmx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[pdftex]{color,graphicx}
\usepackage[pdftex,bookmarks=false,pdftitle=Feuille 15~: intégration,pdfauthor=Pierre~Allken-Bernard,pdfsubject=Feuille~d'exercices, colorlinks=true,linkcolor=black,citecolor=red,filecolor=red,urlcolor=blue,pageanchor=false]{hyperref}

% Apparence des exercices
\newcounter{numexercice}
\newenvironment{exercice}{\stepcounter{numexercice}\textbf{\textsc{Exercice \thenumexercice}}\par}{\bigskip}

% Apparence des listes enumerate, itemize, ... (voir la documentation du package enumitem)
\setenumerate{leftmargin=*,topsep=0pt,itemsep=0pt}
\setenumerate[1]{label=\textbf{\arabic*.}}
\setenumerate[2]{label=\textbf{\alph*.}}
\setenumerate[3]{label=\textbf{\roman*.}}

%\newdateformat{monformat}{\twodigit{\theday}-\twodigit{\themonth}-\theyear}

\newcommand{\thetitle}{Feuille 15~: intégration}
\title{\textbf{\thetitle}}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\parindent=0pt
\pagestyle{fancy}
\lhead{\textbf{\today}} 
\chead{\textbf{\thetitle}}
\rhead{\textbf{\thepage/\pageref{fin}}}
\lfoot{\small \textit{Lycée Joachim du Bellay}}
\cfoot{\small \textit{Mathématiques, prépa ECE1}}
\rfoot{\small \textit{http://allken-bernard.org/pierre/ece}}
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\maketitle
\thispagestyle{fancy}

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%%%     Exercice 485
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Pour chaque fonction, donner une primitive et indiquer un intervalle sur lequel votre réponse est valide~:
\[\begin{array}{lll}
f_1(x)=2 & f_2(x)=x & f_3(x)=5x \\
f_4(x)=-4x^2 & f_5(x)=x^2-3x+2 & f_6(x)=-2x^2 \\
f_7(x)=3x+5 & f_8(x)=\frac{1}{2}x^2 & f_9(x)=2x^5\\
f_{10}(x)=\frac{x-3}{2} & f_{11}(x)=3x^2+2x+1 & f_{12}(x)=-x^2+1\\
f_{13}(x)=-\frac{1}{x} & f_{14}(x)=e^x & f_{15}(x)=x-\frac{1}{x^2}\\
f_{16}(x)=x^7 & f_{17}(x)=\frac{1}{x^3} & f_{18}(x)=\frac{x^4+1}{x^2}\\
f_{19}(x)=5x^2+x+\frac{2}{x} & f_{20}(x)=\frac{e^x+4}{3} & f_{21}(x)=2(2x+1)^3\\
f_{22}(x)=(3x+1)^{-5} & f_{23}(x)=(-2x+1)^5 & f_{24}(x)=\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^4}\\
f_{25}(x)=\frac{1}{x}(\ln x)^2 & f_{26}(x)=-3\sqrt x\; x^2 & f_{27}(x)=\frac{2\sqrt x}{5x^3}\\
f_{28}(x)=\sqrt[3]{x^4} & f_{29}(x)=e^{2x} & f_{30}(x)=\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}} \\
\end{array}\]
\end{exercice}


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%%%     Exercice 486
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Calculer les intégrales suivantes~:
\begin{eqnarray*}
I&=&\int_1^2 \frac{\ln x}{x}\mathrm dx\\
J&=&\int_0^4 \sqrt{u}(u-2\sqrt u)\mathrm du\\
K&=&\int_1^4 (2z-1)e^{z^2-z}\mathrm dz\\
\end{eqnarray*}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 487
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Calculer les intégrales suivantes par intégrations par parties~:
\begin{eqnarray*}
L&=&\int_1^e \ln(x)\mathrm dx\\
M&=&\int_1^e x \ln(x)\mathrm dx\\
N&=&\int_1^e x^2 \ln(x)\mathrm dx\\
O&=&\int_1^e t^2 (\ln t)^3\mathrm dt\\
P&=&\int_2^5 \sqrt{3s} \ln s\mathrm ds\\
Q&=&\int_0^{-1} (2x^2+1)e^{5x}\mathrm dx\\
\end{eqnarray*}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 488
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Calculer les intégrales suivantes à l'aide du changement de variables indiqué~: 
\begin{eqnarray*}
A&=&\int_0^1 \frac{\mathrm dx}{2x+1}\qquad (u=2x+1)\\
B&=&\int_{0}^{\frac{1}{5}} \frac{\mathrm dx}{1-4x}\qquad (u=1-4x)\\
C&=&\int_{0}^{1} \frac{\mathrm dx}{(2x+1)^2}\qquad (u=2x+1)\\
D&=&\int_{0}^{\frac{1}{5}} \frac{\mathrm dx}{(1-4x)^2}\qquad (u=1-4x)\\
E&=&\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm dx\qquad (u=x^2+1)\\
F&=&\int_{0}^{1} \frac{1}{e^x+1}\mathrm dx\qquad (u=e^x)\\
\end{eqnarray*}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 489
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Calculer les intégrales suivantes (décomposer les fractions rationnelles en éléments simples)~:
\begin{eqnarray*}
G&=&\int_2^1 \frac{\mathrm dx}{x(x+1)}\\
H&=&\int_{0}^{1} \frac{\mathrm dx}{(x+1)(x+3)}\\
I&=&\int_{1}^{2} \frac{\mathrm dx}{x(x+1)(x+2)}\\
\end{eqnarray*}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 490
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit $f$ la fonction définie sur $[0,2]$ par $f(x)=x$ si $x\in [0,1]$ et $f(x)=x^2$ si $x\in [1,2]$.
Calculer :
\[\int_0^2 f(x)\mathrm dx\]
\end{exercice}


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%%%     Exercice 491
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit $a>0$. D\'emontrer que :
\[\int_{\frac{1}{a}}^a \frac{\ln x}{1+x^2}\,\mathrm dx=0\]
\`a l'aide du changement de variable $x=\frac{1}{t}$.
\end{exercice}


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%%%     Exercice 492
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit $f:[-1,1]\to\mathbf R$ une fonction continue et impaire. Démontrer que :
\[\int_{-1}^1 f(x)\mathrm dx=0\]
Indication~: poser $t=-x$.
\end{exercice}


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%%%     Exercice 493
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Pour tout $n\in\mathbf N$, on pose :
\[I_n=\lim_{a\to +\infty} \int_0^a x^n e^{-x}\mathrm dx\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_0,I_1,I_2,I_3$.
\item \'Enoncer une conjecture pour $I_n$ et démontrez-la. 
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 494
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Pour tout $(m,n)\in\mathbf N^2$, on pose :
\[I_{m,n}=\int_0^1 x^m(1-x)^n\mathrm dx\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_{m,0}$;
\item \'Etablir une relation entre $I_{m,n+1}$ et $I_{m+1,n}$; 
\item En déduire une expression simple de $I_{m,n}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 495
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Dériver les fonctions suivantes~:
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&\int_0^x \sqrt{t^2+1}\mathrm dt\\
g(x)&=&\int_x^0 e^{-t^2}\,\mathrm dt \\
h(x)&=&\int_0^{2x} \frac{\mathrm dt}{1+t^2} \\
i(x)&=&\int_x^{x^2} \frac{1}{1+t+t^2}\mathrm dt \\
j(x)&=&\int_{-x}^{e^x} \sqrt{1+e^{-t}}\mathrm dt\\
\end{eqnarray*}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 496
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Dans chaque cas, représenter graphiquement et calculer l'aire de la région indiquée :
\begin{itemize}
\item $\mathcal R$ est la région bornée délimitée par l'axe $(0x)$, la courbe d'équation $y=x^2$, et la droite d'équation $x=3$.  
\item $\mathcal S=\{(x,y)\in\mathbf R^2,\; -1\le x\le 0\textrm{ et }0\le y\le e^x\}$
\item $\mathcal T=\{(x,y)\in\mathbf R^2,\; 0\le x\le 2\textrm{ et }\frac{x}{2}\le y\le 2x+1\}$
\item $\mathcal U=\{(x,y)\in\mathbf R^2,\; 0\le x\le 1\textrm{ et }x^2\le y\le \sqrt x\}$
\item $\mathcal V$ est la région bornée délimitée par les droites d'équations $y=0$, $x=-1$, $x=1$ et $y=-2x+1$.   
\end{itemize}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 497
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Pour chacune des fonctions suivantes, donner le domaine de définition,
justifier que la fonction est $C^{1}$ sur son domaine de définition et
expliciter sa dérivée.\newline
\begin{eqnarray*}
a&:&x\mapsto \int_{1}^{x}\ln t\,\mathrm dt\\
b&:&x\mapsto\int_{-2}^{x}\frac{\mathrm dt}{1-t^{2}}\\
c&:&x\mapsto\int_{-3}^{x}\sqrt{t^{4}-1}\mathrm dt\\
d&:&x\mapsto \int_{x}^{1} \frac{t}{\sqrt{t^{3}+1}}\mathrm dt\\
e&:&x\mapsto \int_{1/2}^{x}\frac{\mathrm dt}{t^{2}-t}
\end{eqnarray*}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 24
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]% EDHEC 2007
On pose~: 
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&\frac{\ln x}{x-\ln x}\quad\text{si }x>0 \\ 
f(0)&=&-1  
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x>0$, $x-\ln x >0$
\item Déterminer l'ensemble de définition $D$ de la fonction $f$.
\item Montrer que $f$ est continue sur $D$.
\item Montrer que $f$ est dérivable (à droite) en $0$ et que $f'_d(0) =0$.
\item Justifier que $f$ est dérivable sur $D\setminus \left\{ 0\right\} $
et calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $D\setminus\left\{ 0\right\}$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item \'Etudier le signe de $f$.
\item Pour tout réel $x$ élément de $D$, on pose~:
\[F(x) =\int_0^xf(t)\,\mathrm dt\]
Montrer que $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $D$ puis étudier ses variations.
\item Déterminer $\begin{displaystyle}\lim_{x\to +\infty }\int_1^x\frac{\ln t}{t}\,\mathrm dt\end{displaystyle}$.
\item En déduire que $\begin{displaystyle}\lim_{x\to +\infty }\int_1^x\frac{\ln t}{t-\ln t}\,\mathrm dt=+\infty\end{displaystyle}$.
\item En déduire la limite de $F$ en $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 498
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On consid\`ere les fonctions :
\[F(x)=\int_{1}^{x}{{{\frac{{\ln t}}{{%
1+t^{2}}}}\mathrm dt}}\qquad G(x)=\int_{1/x}^{x}\frac{\ln t}{1+t^{2}}\mathrm dt\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $\mathcal D_F$ et $\mathcal D_G$.
\item Montrer que $F$ est $C^{1}$ sur $\mathcal{D}_{F}$ et calculer $F^{\prime }$.
\item Exprimer $G(x)$ en fonction de $F(x)$
et $F\left( \frac{1}{x}\right)$.
\item Montrer que $G$ est dérivable sur $\mathcal{D}_{G}.$ Calculer $G^{\prime }$ et $G(1)$. En déduire $G$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 499
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On consid\`ere la fonction :
\[F(x)=\int_{x}^{2x}\frac{\mathrm dt}{\sqrt{t^{2}+1}}\]
\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de définition de $F$.
\item Montrer que $\forall t\ge 0, \frac{1}{t+1}\le \frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}}\le \frac{1}{t}$.
\item Donner un encadrement de $F$ et déterminer sa limite en $+\infty$.
\item Montrer que $F$ est dérivable sur son domaine de définition et calculer $F^{\prime}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 500
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On consid\`ere la fonction numérique $\Phi$ définie par~:
\[\Phi(x)=\int_{x}^{2x}{\frac{\mathrm dt}{\sqrt{4+t^{4}}}}\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $\mathcal{D}_{\Phi }$ et montrer que $\Phi $ est une fonction
impaire.
\item Etablir, pour tout $x\in \mathbf{R}_{+}$~:
\[\frac{x}{\sqrt{4+16x^{4}}}\le \Phi (x)\le \frac{x}{\sqrt{4+x^{4}}}\]
En déduire la limite de $\Phi (x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
\item Justifier la dérivabilité de $\Phi $ sur $\mathbf{R}$ et calculer $\Phi^{\prime }(x)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 501
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On pose pour tout entier naturel $n$~: 
\[I_{n}=\int_{1}^{e}(\ln x)^{n}\mathrm dx\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall n\in \mathbf{N},\quad I_{n}\ge 0$ et étudier les variations de la suite $(I_{n})_{n\ge 0}$
\item Etablir, pour tout entier naturel $n$~:
\[I_{n+1}=e-(n+1)I_{n}\]
\item Déduire des questions précédentes que :
\[\forall n\in \mathbf{N},\quad 0\leqslant I_{n}\leqslant \frac{e}{n+1}\]
\item Déterminer $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }I_{n}$ puis, avec la
question 2, donner un équivalent de $I_{n}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 502
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On pose~:
\[\forall n\in \mathbf{N},\quad I_{n}={\frac{{1}}{{n!}}}{\int_{0}^{1}{(1-t)^{n}e^{t}\mathrm dt}}\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que :
\[\forall n\in \mathbf{N},\quad 0\leqslant I_{n}\leqslant 
\frac{e}{(n+1)!}\]
En déduire $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }I_{n}$.
\item A l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
\[\forall n\in \mathbf{N}^{* },\quad I_{n}=I_{n-1}-{\frac{{1}}{{n}!}}\]
\item Montrer que~:
\[\forall n\geqslant 0,\quad I_{n}=e-{\sum_{k=0}^{n}{{\frac{{1}}{{k}!}}}}\]
\item En déduire la valeur de~:
\[\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\sum_{k=0}^{n}\frac{{1}}{{k}!}\]
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 503
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Pour tout entier naturel $n$, on note~:
\[I_{n}={\int_{0}^{1}{{\frac{{t^{n}}}{{1+t^{2}}}}\mathrm dt}}\qquad  J_{n}={\int_{0}^{1}{t^{n}\ln (1+t^{2})\mathrm dt}}\]

\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations des suites $(I_{n})_{n\geqslant 0}$ et $(J_{n})_{n\geqslant 0}$.
\item Montrer que :
\[\forall n\geqslant 0,\quad 0\leqslant I_{n}\leqslant \frac{1}{n+1}\]
En déduire $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }I_{n}$.
\item \`A l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
\[J_{n}={\frac{{\ln 2}}{{n+1}}}-{\frac{{2}}{{n+1}}}I_{n+2}\]
\item En déduire la limite de $\left( {J_{n}}\right) $ et celle de $nJ_{n}$
puis donner un équivalent $J_{n}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 504
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Pour tout $n\in \mathbf{N}$, on note~:
\[I_{n}=\int_{0}^{1}\frac{x^{n}}{\sqrt{1+x^{2}}}\mathrm dx\quad J_{n}=\int_{0}^{1}\frac{x^{n+2}}{(1+x^{2})\sqrt{1+x^{2}}}\mathrm dx\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n\in \mathbf{N}$ :
\[0\leqslant I_{n}\leqslant \frac{1}{n+1}\]
En déduire $\lim_{n\rightarrow +\infty }I_{n}$.
\item Montrer que $(J_{n})$ converge vers $0$.
\item Etablir que :
\[\forall n\in \mathbf{N},\quad I_{n}=\frac{1}{(n+1)\sqrt{2}}+\frac{1}{n+1}J_{n}\]
En déduire $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}nI_{n}$.
\item Donner un équivalent de $I_n$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 505
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit $x$ un réel $\ge 0$. On considère la suite :
\[S_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{1}{k+x+1}\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $t\in \lbrack 0,1]$ et pour tout $n\in\mathbf N$ :
\[\frac{1}{1+t}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}t^{k}+(-1)^{n+1}\frac{t^{n+1}}{1+t}\]
\item En déduire que :
\[\int_{0}^{1}\frac{t^{x}}{1+t}\mathrm dt=S_{n}(x)+(-1)^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{t^{n+x+1}}{1+t}\mathrm dt\]
\item Démonter que :
\[\forall n\in\mathbf N,\quad 0\leqslant \int_{0}^{1}\frac{t^{n+x+1}}{1+t}\mathrm dt\leqslant \frac{1}{n+2}\]
Puis que :
\[\lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}(x)=\int_{0}^{1}\frac{t^{x}}{1+t}\mathrm dt\]
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 506
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Pour tout $n\in \mathbf{N},$ on pose :
\[I_{n}=\int_{0}^{1}\frac{x^{n}}{1+x}dx\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(I_{n})$ converge vers $0$ (indication~: majorer $\dfrac{x^n}{1+x}$ convenablement).
\item Justifier que $\forall n\in \mathbf{N}$ :
\[I_{n}+I_{n+1}=\frac{1}{n+1}\]
Calculer $I_{0}$ puis $I_{1}$.
\item Démontrer que :
\[\forall n\in \mathbf{N}^{\times },\quad (-1)^{n}I_{n}=\ln 2+\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k}\]
\item En déduire :
\[\lim_{n\to +\infty}  \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k}\] 
\end{enumerate}
\end{exercice}

\label{fin}
\end{document}