% suites convergentes
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%%%     Feuille d'exercices de mathématiques au format LaTeX     %%%
%%%     créée le Wed, 04 Feb 2009 12:23:11 +0100                 %%%
%%%     sur http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices      %%%
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%%%     Pour le compiler, c.a.d. fabriquer le fichier PDF),      %%%
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\documentclass[10pt]{article}
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\usepackage{mathptmx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[pdftex]{color,graphicx}
\usepackage[pdftex,bookmarks=false,pdftitle=Feuille 13~: suites convergentes,pdfauthor=Pierre~Allken-Bernard,pdfsubject=Feuille~d'exercices, colorlinks=true,linkcolor=black,citecolor=red,filecolor=red,urlcolor=blue,pageanchor=false]{hyperref}

% Apparence des exercices
\newcounter{numexercice}
\newenvironment{exercice}{\stepcounter{numexercice}\textbf{\textsc{Exercice \thenumexercice}}\par}{\bigskip}

% Apparence des listes enumerate, itemize, ... (voir la documentation du package enumitem)
\setenumerate{leftmargin=*,topsep=0pt,itemsep=0pt}
\setenumerate[1]{label=\textbf{\arabic*.}}
\setenumerate[2]{label=\textbf{\alph*.}}
\setenumerate[3]{label=\textbf{\roman*.}}

%\newdateformat{monformat}{\twodigit{\theday}-\twodigit{\themonth}-\theyear}

\newcommand{\thetitle}{Feuille 13~: suites convergentes}
\title{\textbf{\thetitle}}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\parindent=0pt
\pagestyle{fancy}
\lhead{\textbf{\today}} 
\chead{\textbf{\thetitle}}
\rhead{\textbf{\thepage/\pageref{fin}}}
\lfoot{\small \textit{Lycée Joachim du Bellay}}
\cfoot{\small \textit{Mathématiques, prépa ECE1}}
\rfoot{\small \textit{http://allken-bernard.org/pierre/ece}}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}

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%%%     Exercice 447
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit~:
\[\forall n\in\mathbf N^*,\quad u_n=\frac{\sqrt n}{4^n}{{2n}\choose n}\]
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
\end{exercice}


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%%%     Exercice 448
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit~:
\[u_0=-2,\qquad \forall n\in\mathbf N,\; u_{n+1}=\frac{2u_n}{3-u_n}\]
On pose $v_n=\dfrac{v_n}{1-v_n}$ pour tout $n\in\mathbf N$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(v_n)$ est géométrique.
\item En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis étudier la convergence de $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 449
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit~:
\[u_0=1,\qquad \forall n\in\mathbf N,\; u_{n+1}=3u_n-2n-1\]
On pose $v_n=u_n-n$ pour tout $n\in\mathbf N$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(v_n)$ est arithmético-géométrique.
\item En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis étudier la convergence de $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 450
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit $f(x)=e^x-x$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier la fonction $f$ et en particulier les branches infinies de $\mathcal C_f$.
\item Montrer que pour tout entier $n\ge 2$, l'équation $f(x)=n$ admet deux solutions de signes opposés. On notera $u_n$ la solution positive.
\item \'Etudier les variation de $(u_n)$.
\item Montrer que $\forall n\ge 2$, $u_n\ge \ln(n)$. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 451
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit~:
\[\forall n\in\mathbf N^*, u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}\quad v_n=u_n+\frac{1}{n}\]
Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

\end{exercice}


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%%%     Exercice 452
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit~:
\[u_0=\frac{1}{2},\qquad \forall n\in\mathbf N, u_{n+1}=\sqrt{u_n^2-u_n+1}\]
On pose $f(x)=\sqrt{x^2-x+1}$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier $f$ succinctement.
\item Démontrer que~:
\[\forall x\neq 0,\quad f(x)-x=\frac{\frac{1}{x}-1}{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} +1}\]
\item En déduire la limite de $f(x)-x$ quand $x$ tend vers $+\infty$, puis montrer que $\mathcal C_f$ admet une asymptote en $+\infty$. Donner une équation de cette asymptote.
\item Montrer par récurrence que $\forall n\in\mathbf N, u_n\in \left[\frac{1}{2},1\right]$.
\item Montrer par récurrence que $\forall n\in\mathbf N, u_n\le u_{n+1}$.
\item Montrer que $(u_n)$ est convergente.
\item Résoudre l'équation $f(x)=x$ et en déduire la limite de $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 453
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Montrer que les suites définies par $u_n=1+\frac{1}{n!}$ et $v_n=\frac{n}{n+1}$ sont adjacentes.
\end{exercice}


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%%%     Exercice 454
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit $u_n=1+\frac{(-1)^n}{n}$. Montrer que les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont adjacentes.
\end{exercice}


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%%%     Exercice 455
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soient $u_0>v_0>0$, et~:
\[\forall n\in\mathbf N, u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}\quad v_{n+1}=\sqrt{u_n v_n}\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que $u_n$ et $v_n$ existent et sont strictement positifs.
\item Montrer par récurrence que $u_n\ge v_n$ pour tout $n\in\mathbf N$.
\item Montrer que $(u_n)$ est décroissante et que $(v_n)$ est croissante.
\item Déduire des questions précédentes que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont bornées, puis qu'elles sont convergentes.
\item Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ ont la même limite.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 456
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Pour chaque suite, donner un encadrement de façon à établir sa convergence~:
\[u_n=\frac{(-1)^n}{n}\]
\[v_n=\frac{n+(-1)^n}{n^2}\]
\[w_n=\frac{-n^2+(-1)^n n}{n^2}\]
\end{exercice}


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%%%     Exercice 457
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit $f(x)=e^x+x$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ réalise une bijection de $\bf R$ sur un intervalle à préciser.
\item Montrer que, pour tout $n\in\mathbf N$, l'équation $f(x)=n$ a une unique solution $u_n$.
\item \'Etudier les variations de la suite $(u_n)$.
\item Montrer que pour tout $n\in\mathbf N^*$, $\ln(n-\ln(n))\le u_n\le \ln(n)$.
\item En déduire la limite de~$(u_n)$ puis celle de~$\frac{u_n}{\ln(n)}$. Donner un équivalent simple de~$u_n$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 458
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit $f(x)=x\ln(x)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n\in\mathbf N$, l'équation $f(x)=n$ a une unique solution $u_n$ dans $[1,+\infty[$.
\item \'Etudier la monotonie de la suite $(u_n)$ et montrer que $u_n\le n$ pour tout $n\in\mathbf N$.
\item Montrer que pour tout entier $n\ge 2$, $u_n\ge \frac{n}{\ln(n)}$ et $u_n\le \frac{n}{\ln(n)-\ln(\ln(n))}$.
\item Calculer alors la limite de $\frac{u_n \ln(n)}{n}$ puis donner un équivalent de $u_n$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 459
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Pour tout $n\in\mathbf N$, on pose $f_n(x)=x^n+1-nx$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n\in\mathbf N$, l'équation $x^n+1=nx$ a une unique solution dans $[0,1]$. On note $x_n$ cette solution.
\item Montrer que pour tout entier $n\ge 2$, $\frac{1}{n}\le x_n\le \frac{2}{n}$ et donner la limite de~$(x_n)$.
\item Calculer la limite de $nx_n$ (indice~: écrire $f_n(x_n)=0$), puis donner un équivalent de~$x_n$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 459
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Pour tout $n\in\mathbf N$, on pose $f_n(x)=x^n+1-nx$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n\in\mathbf N$, l'équation $x^n+1=nx$ a une unique solution dans $[0,1]$. On note $x_n$ cette solution.
\item Montrer que pour tout entier $n\ge 2$, $\frac{1}{n}\le x_n\frac{2}{n}$ et donner la limite de~$(x_n)$.
\item Calculer la limite de $nx_n$ (indice~: écrire $f_n(x_n)=0$), puis donner un équivalent de~$x_n$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 460
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Calculer~:
\[\lim_{n\to +\infty}\frac{1+2+3+\cdots+n}{n^2}\]
\end{exercice}


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%%%     Exercice 461
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Calculer~:
\[\lim_{n\to +\infty}\frac{1+4+9+\cdots+n^2}{n^3}\]
\end{exercice}


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%%%     Exercice 462
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit~:
\[\forall n\in\mathbf N,\; u_n=\frac{(n+(-1)^n)^2}{n^2+1}\]
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $(u_n)$ par encadrement.
\item Calculer la limite de $(u_n)$ en utilisant un équivalent du numérateur.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 463
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit~:
\[\forall n\in\mathbf N^*, h_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(h_n)$ est croissante. On note $\ell$ la limite, finie ou infinie, de $(h_n)$~: justifier.
\item Montrer que $u_{2n}-u_n\ge \frac{1}{2}$, pour tout $n\in\mathbf N^*$.
\item En raisonnant par l'absurde, montrer que $\ell=+\infty$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 464
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Posons, pour tout $n\in\mathbf N^*$, et pour tout $x\in [0,1]$, $f_n(x)=x^n+x-1$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier $f_n$ sur $[0,1]$. Montrer en particulier que $f_n$ réalise une bijection de $[0,1]$ sur un intervalle à préciser.
\item Montrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $x_n\in [0,1]$.
\item Montrer que $\forall x\in [0,1], f_{n+1}(x)\le f_n(x)$. En déduire que $(x_n)$ est croissante (indice~: prendre $x=x_n$).
\item Soit $\ell\in [0,1]$ la limite de $(x_n)$~: justifier. On suppose que $\ell<1$. En utilisant le fait que $f_n(x_n)=0$, obtenir une contradiction. En déduire la valeur de $\ell$. 
\end{enumerate}

\end{exercice}

\label{fin}
\end{document}