% généralités sur les fonctions

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%                                                              %%%
%%%     Feuille d'exercices de mathématiques au format LaTeX     %%%
%%%     créée le Wed, 07 Jan 2009 11:48:22 +0100                 %%%
%%%     sur http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices      %%%
%%%                                                              %%%
%%%     Pour le compiler, c.a.d. fabriquer le fichier PDF),      %%%
%%%     utiliser la commande : pdflatex fichier                  %%%
%%%     (fonctionne sous Linux avec la distribution texlive)     %%%
%%%                                                              %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[a4paper,centering,twocolumn,columnsep=1cm,width=18.6cm,height=26.31cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amssymb,amsthm,amsmath}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[pdftex]{color,graphicx}
\usepackage[pdftex,bookmarks=false,pdftitle=Feuille~11. Généralités sur les fonctions,pdfauthor=Pierre~Allken-Bernard,pdfsubject=Feuille~d'exercices, colorlinks=true,linkcolor=black,citecolor=red,filecolor=red,urlcolor=blue,pageanchor=false]{hyperref}

% Apparence des exercices
\newcounter{numexercice}
\newenvironment{exercice}{\stepcounter{numexercice}\textbf{\textsc{Exercice \thenumexercice}}\par}{\bigskip}

% Apparence des listes enumerate, itemize, ... (voir la documentation du package enumitem)
\setenumerate{leftmargin=*,topsep=0pt,itemsep=0pt}
\setenumerate[1]{label=\textbf{\arabic*.}}
\setenumerate[2]{label=\textbf{\alph*.}}
\setenumerate[3]{label=\textbf{\roman*.}}

%\newdateformat{monformat}{\twodigit{\theday}-\twodigit{\themonth}-\theyear}

\newcommand{\thetitle}{Feuille~11. Généralités sur les fonctions}
\title{\textbf{\thetitle}}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\parindent=0pt
\pagestyle{fancy}
\lhead{\textbf{\today}} 
\chead{\textbf{\thetitle}}
\rhead{\textbf{\thepage/\pageref{fin}}}
\lfoot{\small \textit{Lycée Joachim du Bellay}}
\cfoot{\small \textit{Mathématiques, prépa ECE1}}
\rfoot{\small \textit{http://allken-bernard.org/pierre/ece}}
\renewcommand{\headrulewidth}{1.2pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 429
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Effectuer à chaque fois la division euclidienne du polynôme $A$ par le polynôme $B$ :
\begin{itemize}
\item $A(x)=x^3+x^2-2x+2$ et $B(x)=x-1$
\item $A(x)=x^4+x+1$ et $B(x)=x+2$
\item $A(x)=x^3$ et $B(x)=x^2+3$
\item $A(x)=x^4-1$ et $B(x)=x^2+1$
\item $A(x)=x^5+x^3-x+1$ et $B(x)=x+2$
\item $A(x)=x^5$ et $B(x)=x+1$
\end{itemize}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 431
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit $P\in \mathbf R[x]$ un polynôme et soit $a\in \mathbf R$. Soient $Q(x)$ et $R(x)$ le quotient et le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $x-a$.
\begin{enumerate}
\item Quelle relation lie $P(x)$, $x-a$, $Q(x)$, $R(x)$~? En déduire que $R(a)=P(a)$ puis que $\forall x\in \mathbf R, R(x)=P(a)$.
\item Démontrer que si $P(a)=0$ alors le polynôme $P(x)$ est divisible par $x-a$.
\item Application~: soit $P(x)=x^3+2x-3$. Trouver une racine évidente $a$ de l'équation $P(x)=0$, en déduire une factorisation de $P(x)$, puis résoudre complètement l'équation $P(x)=0$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 432
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Résoudre les équations polynomiales suivantes~:
\begin{eqnarray}
x^3+x^2-x+2&=&0\\
x^4+x^2-2&=&0\\
x^4 + 7x^3 + 11x^2 - 7x - 12&=&0\\
x^3 - 4x^2 + 9x - 10&=&0\\
 x^5 + 3x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 3x + 1&=&0
\end{eqnarray}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 433
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbf R\setminus\{1,2,3\}$ par :
\[\forall x\in\mathbf R\setminus\{1,2,3\},\;f(x)=\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)}\]
Trouver trois réels $a,b,c$ tels que :
\[\forall x\in\mathbf R\setminus\{1,2,3\},\;f(x)=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{x-3}\]
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 434
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit~:
\[g(x)=\frac{x^3+x^2-1}{x^2-4}\]
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe un polynôme $Q$ et des réels $a$ et $b$ tels que~:
\[g(x)=Q(x)+\frac{ax+b}{x^2-4}\]
(indice~: effectuer une division euclidienne convenable)
\item Trouver deux réels $u$ et $v$ tels que~:
\[g(x)=Q(x)+\frac{u}{x-2}+\frac{v}{x+2}\]
\item Dériver $g(x)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 435
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit~:
\[h(x)=\frac{x^5}{x^2+x-2}\]
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe un polynôme $Q$ et des réels $a$ et $b$ tels que~:
\[h(x)=Q(x)+\frac{ax+b}{x^2+x-2}\]
\item Trouver deux réels $u$ et $v$ tels que~:
\[h(x)=Q(x)+\frac{u}{x-1}+\frac{v}{x+2}\]
\item Dériver $h(x)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 436
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Déterminer le domaine de définition de chaque fonction~:
\[a(x)=\sqrt{1-2x}\quad b(x)=\sqrt{x^2+x-30}\quad c(x)=\frac{1}{\sqrt{x^3-1}}\]
\[d(x)=\frac{\ln(x^2-1)}{\sqrt{x}}\quad e(x)=\sqrt{x^3 + x^2 + 3x + 3}\quad f(x)=\ln(x^3 + 3x -14)\]
\[g(x)=\frac{1}{e^{2x}+e^x-2}\quad h(x)=\sqrt{\ln(2x+1)}\quad i(x)=\ln(\sqrt{2x+1})\]
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 437
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit la fonction suivante~:
\[f:\left\{ \begin{array}{cll}
\mathbf R& \longrightarrow & \mathbf R  \\
x & \longmapsto & |x+4|  \textrm{ si }x\le 0\\
x & \longmapsto & -2x+1\textrm{ si }0< x< 3\\
x & \longmapsto & x^2-2x-3\textrm{ si }3\le x\\
\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item Donner le tableau des variations de $f$ et tracer la courbe représentative $\mathcal C_f$.
\item Déterminer les antécédents de $0$, de $12$, de $-1$, par la fonction $f$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Exercice 438
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Encadrer les fonctions suivantes par les meilleures constantes possibles, sur les domaines indiqués~:
\[a(x)=2x+1 \textrm{ sur } [0,1],\quad b(x)=-x+5\textrm{ sur }   [-2,1]\]
\[c(x)=x^2 \textrm{ sur } [-1,2],\quad d(x)=\frac{-x}{3x+1}  \textrm{ sur } [2,4]\]
\[e(x)=\frac{1}{e^x+1}  \textrm{ sur } [-2,2],\quad f(x)=e^x+e^{-x}       \textrm{ sur } [-1,1]\]
\[g(x)=x^2+x-2 \textrm{ sur } [-10,10],\quad h(x)=|x^2-1| \textrm{ sur } [-1,2]\]
\end{exercice}

\begin{exercice}
Montrer que les fonctions suivantes sont des bijections entre des ensembles à préciser, et calculer les bijections réciproques~:
\begin{eqnarray*}
f:x\mapsto \frac{x}{x+1}\\
g:x\mapsto \frac{-2x+1}{3-x}\\
h:x\mapsto \frac{e^x-e^{-x}}{2}
\end{eqnarray*}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Les courbes représentatives des fonctions suivantes possèdent une symétrie (axiale ou centrale). Trouver cette symétrie dans chaque cas~:
\begin{eqnarray*}
f:x\mapsto x^2-1\\
g:x\mapsto x^3+1\\
h:x\mapsto x^2-4x+3\\
i:x\mapsto x^4-8x^3+25x^2-36x+21\\
j:x\mapsto \frac{1-3x}{x+2}
k:x\mapsto \frac{x}{x+3}
\end{eqnarray*}
\end{exercice}

\label{fin}
\end{document}