% variables aléatoires
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%%%     Feuille d'exercices de mathématiques au format LaTeX     %%%
%%%     créée le Thu, 04 Dec 2008 00:17:29 +0100                 %%%
%%%     sur http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices      %%%
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%%%     Pour le compiler, c.a.d. fabriquer le fichier PDF),      %%%
%%%     utiliser la commande : pdflatex fichier                  %%%
%%%     (fonctionne sous Linux avec la distribution texlive)     %%%
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\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[a4paper,centering,twocolumn,columnsep=1cm,width=18.6cm,height=26.31cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amssymb,amsthm,amsmath}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[pdftex]{color,graphicx}
\usepackage[pdftex,bookmarks=false,pdftitle=Variables aléatoires,pdfauthor=Pierre~Allken-Bernard,pdfsubject=Feuille~d'exercices, colorlinks=true,linkcolor=black,citecolor=red,filecolor=red,urlcolor=blue,pageanchor=false]{hyperref}

% Apparence des exercices
\newcounter{numexercice}
\newenvironment{exercice}{\stepcounter{numexercice}\textbf{\textsc{Exercice \thenumexercice}}\par}{\bigskip}

% Apparence des listes enumerate, itemize, ... (voir la documentation du package enumitem)
\setenumerate{leftmargin=*,topsep=0pt,itemsep=0pt}
\setenumerate[1]{label=\textbf{\arabic*.}}
\setenumerate[2]{label=\textbf{\alph*.}}
\setenumerate[3]{label=\textbf{\roman*.}}

%\newdateformat{monformat}{\twodigit{\theday}-\twodigit{\themonth}-\theyear}

\newcommand{\thetitle}{Variables aléatoires}
\title{\textbf{\thetitle}}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\parindent=0pt
\pagestyle{fancy}
\lhead{\textbf{\today}} 
\chead{\textbf{\thetitle}}
\rhead{\textbf{\thepage/\pageref{fin}}}
\lfoot{\small \textit{Lycée Joachim du Bellay}}
\cfoot{\small \textit{Mathématiques, prépa ECE1}}
\rfoot{\small \textit{http://allken-bernard.org/pierre/ece}}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}

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%%%     Exercice 409
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit $(\Omega,P)$ un espace probabilisé fini et soit $A$ un événement.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $A$ et $\emptyset$ sont indépendants.
\item Démontrer que $A$ et $\Omega$ sont indépendants.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 410
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soient $A,B$ deux événements indépendants.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $A$ et $\overline B$ sont indépendants.
\item Démontrer que $\overline A$ et $\overline B$ sont indépendants.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 413
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Un dé pipé possède la fonction de probabilité $P$ décrite par le tableau suivant~:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\frac{1}{6} &  \frac{1}{6} &  \frac{1}{3} &  \frac{1}{9} &  \frac{1}{9} &  \frac{1}{9}\\
\hline
\end{array}\] 
Soit $A$ l'événément \og{}on obtient $1$ ou $2$\fg{} et soit $B$ l'événement \og{}on obtient $2$ ou $3$\fg{}.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier l'indépendance de $A$ et $B$.
\item Même question si le dé n'était pas pipé.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 414
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On lance deux fois un dé puis on considère les événements~:
\begin{itemize}
\item $A_1=$\og le premier nombre obtenu est pair\fg
\item $A_2=$\og le second nombre obtenu est impair\fg
\item $A_3=$\og la somme des deux nombres obtenus est paire\fg
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Montrer que ces événements sont \emph{deux à deux} indépendants.
\item Montrer qu'ils ne sont pas indépendants.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 415
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Une expérience aléatoire consiste à lancer deux fois un dé (supposé équilibré). On définit quatre variables aléatoires~:
\begin{itemize}
\item $X$ désigne le résultat du premier dé
\item $Y$ désigne le résultat du second.
\item $S=X+Y$
\item $D=X-Y$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les lois de $X$, $Y$, $S$, $D$.
\item Calculer leurs espérances.
\item Calculer leurs variances et leurs écarts-types.
\item Calculer $\mathrm{Cov}(X,Y)$, $\mathrm{Cov}(X,S)$, $\mathrm{Cov}(S,D)$.
\item $X$ et $S$ sont-elle indépendantes~? $S$ et $D$ sont-elles indépendantes~?
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 416
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On lance trois fois une pièce et on note $X$ le nombre de \og{}faces\fg{} obtenus.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $X$.
\item Tracer le graphe de la fonction de répartition $F_X$ de~$X$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 417
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Une urne contient $3$ boules noires et $3$ boules blanches. On en tire successivement $3$ boules, sans remise. Notons $X$ le nombre de boules noires obtenues.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $X$.
\item Tracer le graphe de la fonction de répartition $F_X$ de~$X$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 418
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On lance un dé équilibré mais dont les faces affichent $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$.
On note $X$ le résultat obtenu. Déterminer la loi de $X$ et calculer~$E(X)$.
\end{exercice}


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%%%     Exercice 419
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On dit qu'une variable aléatoire réelle est centrée (resp. réduite) lorsque son espérance est nulle (resp. sa variance est égale à $1$).
\begin{enumerate}
\item Soit $X$ une variable aléatoire réelle et posons $Y=X-E(X)$. Démontrer que $Y$ est centrée.
\item Soient $U$ et $V$ deux variables aléatoires réelles centrées. Posons $S=U+V$. Démontrer que $S$ est centrée.
\item Soit $X$ une variable aléatoire de variance non nulle et posons $N=\frac{X}{\sigma(X)}$. Démontrer que $N$ est réduite.
\item Soit $X$ une variable aléatoire de variance non nulle et posons~:
\[C=\frac{X-E(X)}{\sigma(X)}\]
Démontrer que $C$ est centrée et réduite.
\end{enumerate}

\end{exercice}


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%%%     Exercice 420
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On lance deux fois un dé et on définit deux variables aléatoires réelles~: $X$ désigne le résultat du premier lancer, $Y$ le résultat du second. On appelle distance entre $X$ et $Y$ la variable aléatoire $D=|X-Y|$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $D$.
\item Quelle est la distance moyenne entre $X$ et $Y$~?
\item Tracer le graphe de la fonction de répartition~$F_D$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 421
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit $n\in\mathbf N^*$. On admettra que~:
\[{n-1\choose n-1}+{n\choose n-1}+{n+1\choose n-1}+\cdots+{2n-1\choose n-1}={2n\choose n}\]
Une urne contient $n$ boules blanches et $n$ boules noires. On tire toutes les boules une à une sans remise.
On note $X$ le rang de sortie de la dernière boule noire.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $X$.
\item Calculer~$E(X)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 422
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Soit $Y$ une variable aléatoire telle que $Y(\Omega)=\{3,4,5,6\}$.
Déterminer la loi de $Y$ sachant que $P(Y<5)=1/3$, $P(Y>5)=1/2$, $P(Y=3)=P(Y=4)$.
\end{exercice}


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%%%     Exercice 424
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Un dé est pipé~: la probabilité d'obtenir $k$ est proportionnelle à $k$ pour $k\in\{1,2,3,4,5,6\}$. On lance ce dé et on note $X$ le résultat obtenu.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $X$.
\item calculer $E(X)$.
\item On pose $Y=1/X$. Déterminer la loi et l'espérance de $Y$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 425
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Un urne contient une boule rouge, deux boules noires, et trois boules jaunes. On effectue des tirages successifs jusqu'à ce qu'il ne reste plus dans l'urne que deux couleurs différentes. Soit $X$ le nombre de tirages effectués. Déterminer la loi de $X$, son espérance et sa variance.
\end{exercice}


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%%%     Exercice 426
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]On dispose d'un lot de 100 pi\`{e}ces de monnaie toutes de m\^{e}me
apparence. On sait que 50 de ces pi\`{e}ces sont \'{e}quilibr\'{e}es tandis
que les 50 autres sont truqu\'{e}es. Pour une pi\`{e}ce truqu\'{e}e, la
probabilit\'{e} d'apparition de pile lors d'un jet de cette pi\`{e}ce
vaut $3/4$. On suppose que, pour une pi\`{e}ce donn\'{e}e, les diff\'{e}rents lancers
sont ind\'{e}pendants les uns des autres.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  On prend une pi\`{e}ce au hasard dans ce lot et on la lance. Le
r\'{e}sultat de ce jet est pile.

Quelle est alors la probabilit\'{e} que la pi\`{e}ce choisie soit
truqu\'{e}e ?

\item  On relance cette m\^{e}me pi\`{e}ce et on obtient \`{a} nouveau
pile. Quelle est alors la probabilit\'{e} que la pi\`{e}ce choisie soit
truqu\'{e}e ?
\end{enumerate}

\item  On d\'{e}sire effectuer un tri des pi\`{e}ces pour tenter
d'\'{e}liminer celles qui sont truqu\'{e}es. Pour cel\`{a} on prend les
pi\`{e}ces du lot une \`{a} une et on lance chaque pi\`{e}ce deux fois.

\begin{itemize}
\item  Si au cours des deux lancers on obtient au moins un pile, on
d\'{e}cide d'\'{e}liminer la pi\`{e}ce.
     
\item  Dans le cas contraire, on la conserve.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilit\'{e} d'\'{e}liminer une pi\`{e}ce quand elle
est \'{e}quilibr\'{e}e ?

\item  Quelle est la probabilit\'{e} de conserver une pi\`{e}ce quand elle
est truqu\'{e}e ?

\item  On note $X_{1}$ le nombre de pi\`{e}ces truqu\'{e}es et $X_{2}$ le
nombre de pi\`{e}ces \'{e}quilibr\'{e}es qui sont ainsi \'{e}limin\'{e}es.

D\'{e}terminer les lois de $X_{1}$ et de $X_{2}$ ainsi que leur esp\'{e}rance.
Que dire de l'efficacit\'{e} du tri ?

Donner enfin le nombre moyen de pi\`{e}ces \'{e}limin\'{e}es.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 427
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]Une urne contient 8 boules : 3 noires et 5 blanches.

On tire l'une apr\`{e}s l'autre deux boules de l'urne sans les y remettre.

On note $N_{1}$ l'\'{e}v\`{e}nement \og{}obtenir une boule noire au premier
tirage\fg{}, $N_{2}$ \og{}obtenir une boule noire au deuxi\`{e}me tirage\fg{}, et de
la m\^{e}me fa\c{c}on $B_{1}$ et $B_{2}$ obtenir une boule blanche au
premier et au deuxi\`{e}me tirage.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  Quelles sont les probabilit\'{e}s de $N_{1}$ et de $B_{1}$ ?

\item  On a tir\'{e} une boule blanche au premier tirage. Quelle est la
probabilit\'{e} d'avoir \textit{alors} une boule noire au deuxi\`{e}me
tirage ?

\item  Quelle est la probabilit\'{e} de tirer une boule blanche puis une
boule noire ?

\item  D\'{e}terminer la probabilit\'{e} de $N_{2}$. Ce r\'{e}sultat
\'{e}tait-il pr\'{e}visible ?

On note $X$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre de boules blanches
obtenues lors des deux tirages.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}composer l'\'{e}v\`{e}nement $(X=0)$ et en d\'{e}duire sa
probablilti\'{e}.

\item  D\'{e}terminer de m\^{e}me la probablit\'{e} de l'\'{e}v\`{e}nement $(X=2)$ et de $(X=1)$.

\item  Donner dans un tableau la loi de $X$ et calculer le nombre moyen de
boules blanches obtenues lors de ces deux tirages.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


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%%%     Exercice 428
%%%     Le numéro correspond à la base de données :
%%%     http://allken-bernard.org/pierre/phpmyexercices                  
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\begin{exercice}
\nopagebreak[5]% EML 1991
Une urne contient $p$ jetons numérotés de $1$ à $p$ ($p\geqslant 2$). On
effectue $N$ tirages successifs ($N\geqslant 1$). Chaque tirage consiste à
prendre un jeton dans l'urne, noter son numéro, puis remettre le jeton dans
l'urne. Pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $p$, on définit les variables aléatoires $F_{i}$ et $X_{i}$ comme suit :

\begin{itemize}
\item $F_{i}$ est le nombre de fois où le jeton numéroté $i$ a été tiré

\item $X_{i}$ prend la valeur $0$ si le jeton numéroté $i$ n'a pas été tiré
et prend la valeur $1$ si le jeton numéroté $i$ a été tiré au moins une fois.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item \textbf{\'Etude des variables al\'eatoires $F_i$}

\begin{enumerate}
\item Pour tout $i$ compris entre $1$ et $p$, d\'eterminer l'esp\'erance et
la variance de la variable al\'eatoire $F_i$ .

\item On considère la variable aléatoire $F=\sum\limits_{i=1}^{p}F_{i}$.

Que vaut $F$ ? Calculer l'esp\'erance et la variance de $F$.

\item Est-ce que les variables al\'eatoires $F_i$ sont deux \`a deux
ind\'ependantes ?
\end{enumerate}

\item \textbf{\'Etude des variables al\'eatoires $X_i$}

\begin{enumerate}
\item Pour tout $i$ compris entre $1$ et $p$, d\'eterminer l'esp\'erance et
la variance de la variable al\'eatoire $X_i$.

\item Soient $i$ et $j$ deux entiers distincts compris entre $1$ et $p$.

D\'eterminer la probabilit\'e pour que $X_i = 0$ sachant que $X_j = 0$.

Est-ce que les variables al\'eatoires $X_i$ et $X_j$ sont ind\'ependantes ?

\item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X=\sum%
\limits_{i=1}^{p}X_{i}$.
\end{enumerate}

\item \textbf{Application}

Vous \^etes responsable du service apr\`es-vente d'une chaîne de magasins.
Ce service est pr\'esent sur quinze sites et, au total, il reçoit en moyenne
cinquante appels par jour.

\begin{enumerate}
\item En utilisant le d\'ebut de l'exercice pour mod\'eliser cette
situation, donner une interpr\'etation des variables al\'eatoires $F_i$, $%
X_i $ et $X$.

\item Calculer des valeurs approch\'ees \`a $10^{-1}$ pr\`es de
l'esp\'erance de $F_i$, de l'esp\'erance de $X_i$ et de l'esp\'erance de $X$.

Commenter bri\`evement ces r\'esultats .
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\label{fin}
\end{document}