% d.s. (4h) 
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exercice}{Exercice}

\begin{document}
\baselineskip=16pt 
\parindent=0pt
\begin{center}
{\small\emph{Lycée Joachim du Bellay, ECE1, mathématiques\\
15 novembre 2008}}
\bigskip\bigskip\\
{\Large\textbf{Devoir 9}}
\bigskip
\end{center}

\hrule
\vspace{0.1cm}
\begin{center}
\emph{Calculatrices et documents ne sont pas autorisés.\\
Vos affirmations non évidentes doivent être justifiées\\ complètement mais brièvement.}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\medskip





\begin{exercice}
% ESEEC T 2003
On considère trois suites réelles $(u_{n})$, $(v_{n})$ et $(w_{n})$ définies
sur $\mathbb{N}$ par leur premier terme~:
\begin{equation*}
u_{0}=5,v_{0}=3,w_{0}=1
\end{equation*}
et les relations de récurrence suivantes~:
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\quad \left\{ 
\begin{array}{c}
u_{n+1}=u_{n}+4v_{n} \\ 
v_{n+1}=4u_{n}+v_{n} \\ 
w_{n+1}=v_{n}+w_{n}
\end{array}
\right.
\end{equation*}
On se propose d'exprimer les termes de ces trois suites en fonction de
l'entier naturel~$n$ et ce, de deux manières distinctes.

\begin{enumerate}
\item \textbf{Première méthode}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(u_{n}+v_{n})$ est géométrique de raison 5 et
en déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_{n}+v_{n}$ en
fonction de $n$.

\item Démontrer que la suite $(u_{n}-v_{n})$ est géométrique et en déduire
,pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_{n}-v_{n}$ en fonction de $n$.

\item Déduire des deux questions précédentes les expressions de $u_{n}$ et
de $v_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$.

\item Soit $n\in \mathbb{N}^{\times }$. En remarquant que pour tout entier
naturel $k$, $v_{k}=w_{k+1}-w_{k}$, exprimer la somme~:
\begin{equation*}
\sum\limits_{k=0}^{n-1}v_{k}=v_{0}+v_{1}+....+v_{n-1}
\end{equation*}%
en fonction de $w_{n}$ ; en déduire l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$ et vérifier que cette formule reste valable pour le cas $n=0$.
\end{enumerate}

\item \textbf{Deuxième méthode}\newline
Soit $A$ la matrice $\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 0 \\ 
4 & 1 & 0 \\ 
0 & 1 & 1%
\end{array}%
\right) $. Pour tout entier naturel $n$, on note $X_{n}$, la matrice colonne 
$\left( 
\begin{array}{c}
u_{n} \\ 
v_{n} \\ 
w_{n}%
\end{array}%
\right) $.

\begin{enumerate}
\item Reconnaître le résultat du produit matriciel $AX_{n}$.

\item Montrer alors par récurrence que, pour tout entier naturel $n$~:
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{c}
u_{n} \\ 
v_{n} \\ 
w_{n}%
\end{array}%
\right) =A^{n}\left( 
\begin{array}{c}
5 \\ 
3 \\ 
1%
\end{array}%
\right) .
\end{equation*}
\item On pose $P=\left( 
\begin{array}{ccc}
4 & 0 & 4 \\ 
-4 & 0 & 4 \\ 
1 & 1 & 1%
\end{array}%
\right) $. Montrer que~$P$ est inversible et calculer~$P^{-1}$
\item On pose~$D=P^{-1}AP.$ Calculer~$D$ et en déduire~$D^{n}$ pour tout
entier naturel~$n$
\item Démontrer que, pour tout entier naturel~$n$, $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$,
puis calculer~$A^{n}$.
\item Retrouver les expressions de $u_{n},v_{n}$ et $w_{n}$ en fonction de
l'entier naturel~$n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}



\medskip




\begin{exercice}
% ESSEC T 2005
On considère les matrices suivantes~:
\[A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & -1 & -1 \\
-1 & 4 & 3 
\end{pmatrix}\qquad I=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0  & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 
\end{pmatrix}\]
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice $J$ telle que $A=I+J$, puis calculer $J^2$ et $J^3$.
\item En déduire que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $3$, $J^n$ est égale à la matrice nulle.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$~:
\[A^n=I+nJ+\frac{n(n-1)}{2}J^2\]
\item En déduire alors, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$, l'expression sous forme de tableau de la matrice $A^n$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Développer le produit $(I+J)(I-J+J^2)$.
\item En déduire que $A$ est inversible et préciser $A^{-1}$ en fonction de $I$ et $J$. Vérifier que l'égalité obtenue à la question 2.a. reste vraie si $n=-1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}



\medskip



\begin{exercice}
% ISG E 1991
On considère la matrice~:
\[M=\begin{pmatrix}
2 & -2 & 1 \\
-2 & 2 & -1 \\
1 & -1 & 3
\end{pmatrix}\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $M^2$ et $M^3$.
\item Montrer qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $M^3=a M^2+bM$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\ge 3$, il existe deux réels $a_n$ et $b_n$ tels que~:
\[M^n=a_n M^2+b_n M\]
On exprimera $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a$, $b$, $a_n$ et $b_n$.
\item En déduire $M^6$ et $M^7$. On écrira tous les éléments de ces matrices.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}