% matrices
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exercice}{Exercice}

\begin{document}
\baselineskip=16pt 
\parindent=0pt
\begin{center}
{\small\emph{Lycée Joachim du Bellay, ECE1, mathématiques\\
\today}}
\bigskip\bigskip\\
{\Large\textbf{Devoir 8\\
\bigskip Pour le 7/11/2008 }}
\bigskip\bigskip
\end{center}

\bigskip
\bigskip

\begin{exercice}
% ECRICOME T 2007
On se propose de d\'eterminer la suite de r\'eels $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ v\'erifiant la relation de r\'ecurrence~: 
\[
\left\{ 
\begin{array}{rcl}
u_{n+2}&=&5u_{n+1}-6u_n\\ 
u_0&=&1\\
u_1&=&1
\end{array}
\right. 
\]
et cela \emph{sans utiliser} les résultats du cours sur les suites à double récurrence linéaire. \`A cet effet on d\'efinit la matrice $A$ par~: 
\[
A=\left( 
\begin{array}{cc}
5 & -6 \\ 
1 & 0
\end{array}
\right) 
\]

\textbf{Calcul de la puissance $n$-ème de $A$}

On consid\`ere les matrices \`a coefficients r\'eels $B$ et $C$ d\'efinies
par~: 
\[
B=\left( 
\begin{array}{cc}
3 & -6 \\ 
1 & -2
\end{array}
\right) ,C=\left( 
\begin{array}{cc}
2 & -6 \\ 
1 & -3
\end{array}
\right) 
\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer $BC$ et $CB$.

\item  Montrer, par r\'ecurrence, que pour tout entier naturel $n$ non nul : 
\[
B^n=B\text{ ,\qquad }C^n=(-1)^{n-1}C
\]

\item  V\'erifier que l'on a : 
\[
\text{ }A^2=5A-6I
\]
o\`u $I$ est la matrice carr\'ee unit\'e d'ordre $2$.

\item  Etablir que la matrice $A$ est-inversible et exprimer $A^{-1}$ en
fonction de $A$ et $I$.

\item  Montrer, par r\'ecurrence, que pour tout entier naturel $n$ : 
\[
A^n=3^nB-2^nC
\]

\item La relation pr\'ec\'edente est-elle encore vraie pour $n=-1$. C'est-\`a-dire
a-t-on : 
\[
A^{-1}=\frac 13B-\frac 12C\text{ }?
\]

\item  Montrer que pour tout entier naturel $n$ : 
\[
\left( A^{-1}\right) ^n=\frac 1{3^n}B-\frac 1{2^n}C
\]
\end{enumerate}

\textbf{Expression de $u_n$ en fonction de $n$}

\begin{enumerate}
\item  V\'erifier que pour tout entier naturel $n$ : 
\[
\left( 
\begin{array}{c}
u_{n+2} \\ 
u_{n+1}
\end{array}
\right) =A\left( 
\begin{array}{c}
u_{n+1} \\ 
u_n
\end{array}
\right) 
\]

\item  Montrer par r\'ecurrence que pour tout entier naturel $n$ : 
\[
\left( 
\begin{array}{c}
u_{n+1} \\ 
u_n
\end{array}
\right) =A^n\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
1
\end{array}
\right) 
\]

\item  Donner ainsi l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\end{exercice}












\begin{exercice}
% ECRICOME E 2004

Soient $A$ et $P$ les matrice d\'{e}finies par : 
\[
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\ 
-1 & 1 & -1 \\ 
-2 & 0 & -2
\end{array}
\right) ,\quad P=\left( 
\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1 \\ 
-1 & 2 & -1 \\ 
1 & -1 & 1
\end{array}
\right) 
\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la matrice $P$ est inversible et d\'{e}terminer $P^{-1}$

\item  On pose $T=P\,A\,P^{-1}.$

\begin{enumerate}
\item  Calculer la matrice $T$

\item  Calculer $T^{2},\;T^{3},$ puis $T^{n}$ pour out entier naturel $n\ge
3.$
\end{enumerate}

\item  En d\'{e}duire que : 
\[
\forall n\ge 3,\quad A^{n}=0
\]
o\`{u} $0$ d\'{e}signe la matrice nulle d'ordre 3.

\item  Pour tout r\'{e}el $t,$ on d\'{e}fint la matrice $E\left( t\right) $
par : 
\[
E\left( t\right) =I+tA+\frac{t^{2}}{2}A^{2}
\]
o\`{u} $I$ d\'{e}signe la matrice unit\'{e} d'ordre 3.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que : 
\[
\forall \left( t,t^{\prime }\right) \in \mathbb{R}^{2},\quad E\left( t\right)
E\left( t^{\prime }\right) =E\left( t+t^{\prime }\right) 
\]

\item  Pour tout $t$ r\'{e}el, calculer $E\left( t\right) E\left( -t\right) .
$ En d\'{e}duire que la matrice $E\left( t\right) $ est inversible et
d\'{e}terminer son inverse en fonction de $I,\;A,\;A^{2},\;t$.

\item  Pour tout $t$ r\'{e}el et pour tout entier naturel $n,$
d\'{e}terminer $\left[ E\left( t\right) \right] ^{n}$ en fonction de $%
I,\;A,\;A^{2},\;t$ et $n.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}