% matrices
\documentclass[12pt]{article}
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exercice}{Exercice}

\begin{document}
\baselineskip=16pt 
\parindent=0pt
\begin{center}
{\small\emph{Lycée Joachim du Bellay, ECE1, mathématiques\\
\today}}
\bigskip\bigskip\\
{\Large\textbf{Devoir 7\\
\bigskip Pour le 24/10/2008 }}
\bigskip\bigskip
\end{center}

\bigskip
\bigskip

\begin{exercice}~\\
On considère la matrice suivante :
\[A=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
6&-5&6\\
3&-3&4
\end{pmatrix}\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'il existe une suite $(u_n)_{n\in\mathbf N}$ telle que~:
\[\forall n\in\mathbf N,\quad A^n=\begin{pmatrix}
1 &0&0\\
2u_n & 1-2u_n & 2u_n\\
u_n & -u_n & 1+u_n
\end{pmatrix}\]
\item Calculer $u_n$ en fonction de $n$ puis expliciter $A^n$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\bigskip
\bigskip

\begin{exercice}~\\
On considère la matrice :
\[A=\begin{pmatrix}
3&1&-2\\
-1&1&2\\
-2&-2&2
\end{pmatrix}\]
On pose $B=A-2I$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $B^n$ pour tout $n\in\mathbf N$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbf N$~:
\[A^n=2^n I+n2^{n-1}B+\frac{n(n-1)}{2}2^{n-2}B^2\]
\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}