% d.s. (4h) 
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exercice}{Exercice}

\begin{document}
\baselineskip=16pt 
\parindent=0pt
\begin{center}
{\small\emph{Lycée Joachim du Bellay, ECE1, mathématiques\\
27 septembre 2008}}
\bigskip\bigskip\\
{\Large\textbf{Devoir 4}}
\bigskip
\end{center}

\hrule
\vspace{0.1cm}
\begin{center}
\emph{Calculatrices et documents ne sont pas autorisés.\\
Vos affirmations non évidentes doivent être justifiées\\ complètement mais brièvement.}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\bigskip

\begin{exercice}
Résoudre l'équation suivante, où $m$ est un paramètre~:
\[x^2-(m+1)x+\frac{1}{4}=0\]
\end{exercice}

\bigskip

\begin{exercice}
On considère l'inéquation~:
\[\frac{-x^3-2x^2-5}{x^3+2x^2-5x-6}\ge -1\qquad (I)\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer trois réels $a$, $b$, $c$ tels que~:
\[x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(ax^2+bx+c)\]
\item Résoudre l'inéqaution $(I)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $(u_n)_{n\in\mathbf N}$ la suite définie par~:
\[\left\{\begin{array}{ccl}
u_0 & = & 0\\
u_{n+1}&=& 6 u_n+ 2\cdot 7^n
\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item On pose $v_n=u_n-2\cdot 7^n$ pour tout $n\in\mathbf N$. Montrer que la suite $(v_n)_{n\in\mathbf N}$ est géométrique de raison $6$.
\item Calculer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que~:
\[\forall n\in\mathbf N,\quad u_n=2\cdot 7^n\left(1-\left(\frac{6}{7}\right)^n\right)\]
\item \emph{(non notée)} En déduire la limite de $u_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\bigskip

\begin{exercice}
Soit $(a_n)$ la suite définie par~:
\[\left\{\begin{array}{ccl}
a_0 & = & -1\\
a_{n+1}&=& \dfrac{a_n}{3-2a_n}
\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbf N$, $a_n<0$.
\item On pose, pour tout $n\in\mathbf N$, $t_n=\dfrac{1}{a_n}$. Pourquoi est-ce possible~?
\item Montrer que, pour tout $n\in\mathbf N$, $t_{n+1}=3t_n-2$.
\item Calculer $t_n$ en fonction de $n$. En déduire $a_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\bigskip

\begin{exercice}
Soit $(w_n)$ la suite définie par~:
\[\left\{\begin{array}{ccl}
w_0 & = & -\dfrac{1}{2}\\
w_{n+1}&=& \dfrac{5w_n-1}{w_n+3}
\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $w_{n+1}=1\Longleftrightarrow w_n=1$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbf N$, $w_n\neq 1$.
\item On pose, pour tout $n\in\mathbf N$, $h_n=\dfrac{w_n+1}{1-w_n}$. Justifier.
\item Exprimer $w_n$ en fonction de $h_n$.
\item Démontrer que la suite $(h_n)$ est arithmétique de raison $-\dfrac{1}{2}$.
\item Calculer $h_n$ en fonction de $n$, puis montrer que~:
\[\forall n\in\mathbf N,\quad w_n=\dfrac{3n+4}{3n-8}\]
\item \'Ecrire un programme en Pascal, intitulé \emph{ds4}, qui demande à l'utilisateur d'entrer un entier $n$ puis affiche la valeur de $w_n$ (on utilisera la formule obtenue à la question précédente).
\item Démontrer que~:
\[\forall n\in\mathbf N,\; w_{n+1}-w_n=\frac{-36}{(3n-5)(3n-8)}\]
\item En déduire que la suite $(w_n)$ est décroissante pour $n\ge 3$.
\item \emph{(non notée)} Quelle est la limite de $w_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$~?
\end{enumerate}
\end{exercice}

\bigskip

\begin{exercice}[\emph{à traiter en dernier}]
\begin{enumerate}
\item Trouver deux nombres $x$ et $y$ dont la somme vaut $2$ et le produit $-1$.
\item Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=u_n+3n^2+3n+1$. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ (conjecturer une formule puis la démontrer par récurrence).
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{center}
Fin
\end{center}

\end{document}