% espaces vectoriels
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exercice}{Exercice}

\begin{document}
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\begin{center}
{\small\emph{Lycée Joachim du Bellay, ECE1, mathématiques\\
\today}}
\bigskip\\
{\Large\textbf{Devoir 30\\
\bigskip Pour le 12/6/2009\\}}
\bigskip
\end{center}

\bigskip

\section*{Exercice 1}

On appelle \emph{carré magique de somme nulle} toute matrice $A\in\mathcal M_3(\mathbf R)$ telle que~:
\begin{itemize}
\item la somme des coefficients de chacune des trois lignes est nulle.
\item la somme des coefficients de chacune des trois colonnes est nulle.
\item la somme des coefficients de chacune des deux diagonales est nulle.
\end{itemize}
On note $F$ l'ensemble des carrés magiques de somme nulle.

\begin{enumerate}
\item Donner un exemple d'élément non trivial de $F$ (si vous ne trouvez pas, reprenez cette question après avoir résolu les suivantes).
\item En posant $A=\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ i & j & k\end{pmatrix}$, écrire la condition $A\in F$ sous la forme d'un système linéaire $(S)$.
\item En vérifiant les trois axiomes \textsc{sev0}, \textsc{sev1} et \textsc{sev2} du cours, montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal M_3(\mathbf R)$.
\item Trouver une base de $F$ et donner sa dimension.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}

Soient $u$, $v$, $w$ des vecteurs quelconques, dans un espace vectoriel quelconque.
Montrer que si la famille $(u,v,w)$ est libre alors la famille $(u+v,v+w,u+w)$ aussi.

\section*{Exercice 3}

On pose $P(X)=(X-1)(X+1)$, $Q(X)=(X+1)(X-2)$ et $R(X)=(X-1)(X-2)$.
Montrer que la famille $(P(X),Q(X),R(X))$ est libre dans l'espace vectoriel $\mathbf R_2[X]$.

\end{document}