% récurrence, sommes 
\documentclass[12pt]{article}
\pagestyle{empty}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{amssymb,amsthm,amsmath}
\usepackage{vmargin}  % pour pouvoir redéfinir facilement les marges

%\setmarginsrb{1.5cm}{2cm}{1.5cm}{2cm}{0cm}{0cm}{0cm}{0cm}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exercice}{Exercice}

\begin{document}
\baselineskip=16pt 
\parindent=0pt
\begin{center}
{\small\emph{Lycée Joachim du Bellay, ECE1, mathématiques\\
\today}}
\bigskip\bigskip\\
{\Large\textbf{Devoir 3\\
\bigskip Pour le 03/10/2008 }}
\bigskip\bigskip
\end{center}

\bigskip
\bigskip

\begin{exercice}
Pour tout $n\in\mathbf N^*$, on pose~:
\[s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}\]
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de la suite $(s_n)$.
\item\label{rec} Montrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbf N^*$~:
\[s_n=1-\frac{1}{n+1}\]
\item Montrer qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que~:
\[\forall k\in\mathbf N^*,\quad \frac{1}{k(k+1)}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}\]
\item Retrouver alors le résultat de la question \ref{rec} sans raisonner par récurrence.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\bigskip
\bigskip

\begin{exercice}
Pour tout $n\in\mathbf N^*$, on pose~:
\[t_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)}\]
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe trois réels $a$, $b$, $c$ tels que~:
\[\forall k\in\mathbf N^*,\quad \frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}+\frac{c}{k+2}\]
\item En déduire le calcul de $t_n$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}