% concours blanc (4 heures) % Algèbre et analyse viennent de l'épreuve ECRICOME 2009 ECT, les probabilités viennent de ECRICOME 2009 ECE. \documentclass[10pt]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amssymb,amsthm,amsmath} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[a4paper,centering,width=18.6cm,height=26.31cm,includeheadfoot]{geometry} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{mathptmx} \lhead{ECE1} \chead{\textbf{Concours blanc, mathématiques}} \rhead{mardi 26 mai 2009, 9h-13h} \cfoot{} \lfoot{\textit{Lycée Joachim du Bellay}} \rfoot{\textit{\thepage /2}} \renewcommand{\headrulewidth}{1pt} \renewcommand{\footrulewidth}{1pt} \pagestyle{fancy} \parindent=0pt \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \begin{document} \section{Algèbre} \subsection{Système linéaire de deux suites récurrentes} On note $A$, $P$, $D$ les matrices suivantes~: \[A= \begin{pmatrix}5 & 1 \\ -4 & 0\end{pmatrix}, \quad P= \begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & -4\end{pmatrix}, \quad D= \begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\] On définit les suites $\left( x_{n}\right) $ et $\left( y_{n}\right) $ par~: \[ \left\{ \begin{array}{l} x_{0}=0,\quad y_{0}=1 \\ \begin{array}{ll} \forall n\in \N \quad & \left\{ \begin{array}{l} x_{n+1}=5x_{n}+y_{n} \\ y_{n+1}=-4x_{n} \end{array} \right. \end{array} \end{array} \right. \] et on pose : \[ \forall n\in \N, \quad U_{n}= \begin{pmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{pmatrix} \] \begin{enumerate} \item Montrer que $P$ est inversible et déterminer $P^{-1}$. Vérifier que l'on a $D=P^{-1}AP$. \item Donner, sans démonstration, l'expression de $D^{n}$ pour $n$ entier naturel. \item Exprimer $A$ en fonction de $P$, $P^{-1}$ et $D$, puis montrer que, pour tout entier naturel $n$, $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ En déduire l'écriture matricielle de $A^{n}$ en fonction de $n$. \item Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=AU_{n}$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n}=A^{n}U_{0}$. En déduire l'expression de $x_{n}$ et $y_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \subsection{Puissance d'une matrice} Soient $B$ et $I_{3}$ les matrices suivantes : \[ B= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad I_{3}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\] \begin{enumerate} \item Montrer que $B^{2}=5B-4I_{3}$. \item Pour $n$ entier naturel on définit la propriété $\mathcal{H}_{n}$ par~: \[\mathcal{H}_{n} : \text{Il existe deux réels $a_{n}$ et $b_{n}$ tels que $B^{n}=a_{n}B+b_{n}I_{3}$}\] \begin{enumerate} \item Montrer que les propriétés $\mathcal{H}_{0}$, $\mathcal{H}_{1}$, $\mathcal{H}_{2}$ sont vraies et déterminer les couples $\left( a_{0},b_{0}\right) $, $\left( a_{1},b_{1}\right) $, et $\left( a_{2},b_{2}\right) $ correspondants. \item On suppose $\mathcal{H}_{n}$ vraie pour un certain entier $n$ fixé non nul, montrer que $\mathcal{H}_{n+1}$ est vraie et exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$. \item Utiliser la première partie de l'exercice pour exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$. \item Conclure en donnant l'écriture matricielle de $B^{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Analyse} On considère l'application $\varphi $ définie sur $\mathbb{R}^{+\ast}$ par $\varphi \left( x\right) =2\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) +\dfrac{1}{x}$, ainsi que la fonction numérique $f$ des variables réelles $x$ et $y$ définie par~: \[ \forall \left( x,y\right) \in \left] 0,+\infty \right[ \times \left] 0,+\infty \right[ ,\quad f\left( x,y\right) =e^{x+4y}\ln \left( xy\right) \] \subsection{\'Etude des zéros de $\varphi$} \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $\varphi \left( x\right) $ lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs positives. Interpréter graphiquement cette limite. \item Déterminer la limite de $\varphi \left( x\right) $ lorsque $x$ tend vers $+\infty $, ainsi que la limite de $\dfrac{\varphi \left( x\right) }{x}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty $. Interpréter graphiquement cette limite. \item Justifier la dérivabilité de $\varphi $ sur $\mathbb{R}^{+\ast }$, déterminer sa dérivée. \item Dresser le tableau de variation de $\varphi $, faire apparaître les limites de $\varphi $ en $0^{+}$ et $+\infty $. \item On rappelle que $\ln \left( 2\right) \simeq 0,7$. Montrer l'existence de deux réels positifs $\alpha $ et $\beta $ tels que $\varphi \left( \alpha \right) =\varphi \left( \beta \right) =0$. \item Proposer un programme en Pascal permettant d'encadrer $\alpha $ dans un intervalle d'amplitude $10^{-2}$. \end{enumerate} \subsection{Extrema de $f$ sur $\left] 0,+\infty \right[ \times \left] 0,+\infty \right[ $} \begin{enumerate} \item Justifier que $f$ est de classe $C^{2}$ sur $\left] 0,+\infty \right[ \times \left] 0,+\infty \right[ .$ \item Calculer les dérivées partielles premières et prouver que pour $x$, et $y$ strictement positifs~: \[ \left \{ \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =f\left( x,y\right) +\frac{1}{x}e^{x+4y} \\ \frac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =4f\left( x,y\right) +\frac{1}{y}e^{x+4y} \end{array} \right. \] \item Montrer que les points de coordonnées respectives $\left( \alpha , \dfrac{\alpha }{4}\right) $ et $\left( \beta ,\dfrac{\beta }{4}\right)$ sont des points critiques de $f$ sur $\left] 0,+\infty \right[ \times \left]0,+\infty \right[$. \item Calculer les dérivées partielles secondes sur $\left] 0,+\infty \right[ \times \left] 0,+\infty \right[ $ et établir que~: \[ \left \{ \begin{array}{c} \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( \alpha ,\frac{\alpha }{4}\right) =\frac{\alpha -1}{\alpha ^{2}}e^{2\alpha } \\ \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( \alpha ,\frac{\alpha }{4}\right) =16\frac{\alpha -1}{\alpha ^{2}}e^{2\alpha } \\ \frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( \alpha ,\frac{\alpha }{4}\right) =\frac{4}{\alpha }e^{2\alpha } \end{array} \right. \] \item La fonction $f$ présente-t-elle un extremum local sur $\left] 0,+\infty \right[ \times \left] 0,+\infty \right[ $ au point de coordonnées $\left( \alpha ,\dfrac{\alpha }{4}\right)$~? Si oui, en donner sa nature (maximum on minimum). \item De m\^{e}me, $f$ présente-t-elle un extremum local sur $\left] 0,+\infty \right[ \times \left] 0,+\infty \right[ $ au point de coordonné% es $\left( \beta ,\dfrac{\beta }{4}\right) $ ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Probabilités} Une municipalité a lancé une étude statistique concernant les problèmes rencontrés par les usagers des transports en commun. L'enqu\^{e}te révèle que la probabilité qu'un usager attende moins de $7$ minutes à une station donnée est égale à $p$, $p$ appartenant à~$\left] 0,1\right[$. \begin{enumerate} \item Monsieur Thierex fréquente cette ligne de bus tous les jours pendant $10$ jours. On suppose que les retards journaliers sont indépendants. \begin{enumerate} \item On désigne par $Y$ la variable aléatoire réelle égale au nombre de jours o\`{u} Monsieur Thierex a attendu moins de $7$ minutes. Déterminer la loi de $Y$, son espérance et sa variance en fonction de $p$. \item On définit par $Z$ la variable aléatoire discrète réelle indiquant le rang $k$ du jour o\`{u} pour la première fois Monsieur Thierex attend plus de $7$ minutes si cet événement se produit. Dans le cas contraire si le temps d'attente est inférieur à $7$ minutes pendant les dix jours, $Z$ prend la valeur $0$. Déterminer, en fonction de $p$, la probabilité des événements $\left[ Z=0\right] $, puis $\left[ Z=k\right] $ pour $% 1\leq k\leq 10$. \end{enumerate} \item Lassé des retards de son bus, Monsieur Thurman décide de prendre le bus ou le métro selon le protocole suivant~: \begin{itemize} \item Le premier jour, il prend le bus \item Si le jour $n$ ($n\in \N^{*}$) il attend plus de $7$ minutes pour prendre le bus, le jour $n+1$ il prend le métro, sinon il prend de nouveau le bus \item Si le jour $n$ il prend le métro, le jour $n+1$ il prend le métro ou le bus de fa\c{c}on équiprobable. \end{itemize} On note $p_{n}$ la probabilité de l'événement $B_n$~: \og{}Thurman prend le bus le jour $n$\fg{}. \begin{enumerate} \item Utiliser la formule des probabilités totales avec le système complet d'événements $\left( B_{n},\overline{B_{n}}\right)$ pour montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1}=\left( p-\dfrac{1}{2}\right) p_{n}+\dfrac{1}{2}$ \item Soit $\alpha $ le réel vérifiant $\alpha =\left( p-\dfrac{1}{2}\right) \alpha +\dfrac{1}{2}$. Montrer que la suite $\left( p_{n}-\alpha \right) $ est géométrique, et en déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul~: \[p_{n}=\left( p-\dfrac{1}{2}\right) ^{n-1}\left( 1-\alpha \right) +\dfrac{1}{2}\] \item La suite $\left( p_{n}\right) $ est-elle convergente~? si oui quelle est sa limite~? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}