% limites
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exercice}{Exercice}

\begin{document}
%\baselineskip=16pt 
\parindent=0pt
\begin{center}
{\small\emph{Lycée Joachim du Bellay, ECE1, mathématiques\\
\today}}
\bigskip\\
{\Large\textbf{Devoir 19\\
\bigskip Pour le 30/1/2009\\}}
\bigskip
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
Ce devoir contient une question qui nécessite\\ \emph{l'utilisation} d'un ordinateur et de Freepascal (ou Turbo Pascal).
\end{center}

\bigskip

\begin{exercice}~\\
Calculer~: 
\[\lim_{x\to 0_+} x^2\left(e^{\frac{1}{x}}-e^{\frac{1}{x+1}}\right)\]
On pourra utiliser un changement de variable.
\end{exercice}

\bigskip

\begin{exercice}~\\
Soit~:
\[f(x)=\ln\left(\frac{e^x-1}{x}\right)\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $D_f=\mathbf R^*$.
\item Démonter que $f$ se prolonge par continuité à $\bf R$. Indiquer la valeur de $f(0)$.
\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\bigskip

\begin{exercice}~\\
Soient~:
\[\forall n\in\mathbf N^*,\quad u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\qquad v_n=u_n+\frac{1}{n\cdot n!}\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $(u_n)$ est $(v_n)$ sont adjacentes. Par théorème, elles sont donc convergentes, vers une limite commune que l'on notera $\ell$.
\item \'Ecrire un programme \emph{devoir19} en Pascal qui~:
\begin{itemize}
\item contient une fonction \emph{fact} qui prend en entrée un entier $k$ et qui renvoie $k!$.
\item demande $n$ à l'utilisateur puis qui affiche la valeur de $u_n$ et de $v_n$.
\end{itemize}
\item En utilisant ce programme, donner une valeur approchée de $\ell$ à $10^{-4}$ près. Quelle conjecture faites-vous concernant $\ell$~?
\end{enumerate}
\end{exercice}

\bigskip

\begin{exercice}~\\
\'Etudier les domaines de définition et les branches infinies des fonctions suivantes~:
\[f(x)=\frac{x^2+e^x}{x+1}\qquad g(x)=\ln(e^x+e^{-x})\]
\end{exercice}

\end{document}