% probabilités
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exercice}{Exercice}

\begin{document}
\baselineskip=16pt 
\parindent=0pt
\begin{center}
{\small\emph{Lycée Joachim du Bellay, \textsc{ECE}1, mathématique\\
\today}}
\bigskip\bigskip\\
{\Large\textbf{Devoir 12\\
\bigskip Pour le vendredi 5 décembre\\}}
\bigskip
\bigskip
\bigskip
\end{center}

\begin{exercice}
Soit $n$ un entier $\ge 1$. On considère l'expérience aléatoire qui consiste à lancer successivement $n$ fois un dé (équilibré) et à noter les $n$ résultats obtenus (dans l'ordre).
\begin{enumerate}
\item Décrire l'univers $\Omega$ associé à cette expérience aléatoire. Déterminer le cardinal de $\Omega$.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $A=$\og on obtient au moins un $6$\fg.
\item Démontrer que pour avoir une probabilité supérieure ou égale à $0,9$ d'obtenir au moins un $6$, il faut et il suffit que~:
\[n\ge \frac{\ln(10)}{\ln(6)-\ln(5)}\]
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Une urne contient trois boules blanches et trois boules noires. On tire simultanément quatre boules de l'urne au hasard. Quelle est la probabilité qu'il y ait autant de blanches que de noires~?
\end{exercice}

\begin{exercice}
On considère $4$ urnes notées $u_{0}$, $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ telles que~:

\begin{itemize}
\item l'urne $u_{0}$ soit composée de $0$ boule rouge et $3$ boules blanches.

\item l'urne $u_{1}$ soit composée de $1$ boule rouge et de $2$ boules
blanches.

\item l'urne $u_{2}$ soit composée de $2$ boules rouges et de $1$ boule blanche.

\item l'urne $u_{3}$ soit composée de $3$ boules rouges et de $0$ boule blanche.
\end{itemize}

\noindent On choisit une urne au hasard dans laquelle on effectue alors $3$ tirages successifs avec remise de la boule dans cette même urne. Pour $k\in
\lbrack \hspace{-0.15em}[0,3]\hspace{-0.13em}],$ on considère les événements :\newline
$U_k$=\og{}on pioche dans l'urne $u_k$\fg{} et $R_{k}$=\og{}on
pioche exactement $k$ boules rouges lors des $3$ tirages\fg{}.

\begin{enumerate}
\item Calculer les 16 probabilités conditionnelles suivantes~:
\begin{equation*}
\begin{tabular}{llllllll}
$P_{U_{0}}(R_{0})$ & $P_{U_{0}}(R_{1})$ & $P_{U_{0}}(R_{2})$ & $%
P_{U_{0}}(R_{3})$ & $P_{U_{1}}(R_{0})$ & $P_{U_{1}}(R_{1})$ & $%
P_{U_{1}}(R_{2})$ & $P_{U_{1}}(R_{3})$ \\ 
$P_{U_{2}}(R_{0})$ & $P_{U_{2}}(R_{1})$ & $P_{U_{2}}(R_{2})$ & $%
P_{U_{2}}(R_{3})$ & $P_{U_{3}}(R_{0})$ & $P_{U_{3}}(R_{1})$ & $%
P_{U_{3}}(R_{2})$ & $P_{U_{3}}(R_{3})$%
\end{tabular}%
\end{equation*}

\item \`A l'aide de la formule des probabilités totales, calculer les $4$ probabilités $P(R_{0})$, $P(R_{1})$, $P(R_{2})$, $P(R_{3})$.

\item En déduire les $16$ probabilités conditionnelles suivantes%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{llllllll}
$P_{R_{0}}(U_{0})$ & $P_{R_{0}}(U_{1})$ & $P_{R_{0}}(U_{2})$ & $%
P_{R_{0}}(U_{3})$ & $P_{R_{1}}(U_{0})$ & $P_{R_{1}}(U_{1})$ & $%
P_{R_{1}}(U_{2})$ & $P_{R_{1}}(U_{3})$ \\ 
$P_{R_{2}}(U_{0})$ & $P_{R_{2}}(U_{1})$ & $P_{R_{2}}(U_{2})$ & $%
P_{R_{2}}(U_{3})$ & $P_{R_{3}}(U_{0})$ & $P_{R_{3}}(U_{1})$ & $%
P_{R_{3}}(U_{2})$ & $P_{R_{3}}(U_{3})$%
\end{tabular}%
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\end{document}