% matrices, dénombrement
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exercice}{Exercice}

\begin{document}
\baselineskip=16pt 
\parindent=0pt
\begin{center}
{\small\emph{Lycée Joachim du Bellay, \textsc{ECE}1, mathématique\\
\today}}
\bigskip\bigskip\\
{\Large\textbf{Devoir 11\\
\bigskip Pour le vendredi 28 novembre\\}}
\bigskip
\bigskip
\bigskip
\end{center}

\begin{exercice}~
Le but de cet exercice est de calculer, en fonction de l'entier naturel~$n$~:
\[\sum_{k=0}^n k2^{k-1}\]
\begin{enumerate}
\item Soit $A\in\mathcal M_2(\mathbf R)$ telle que $I-A$ soit inversible. Démontrer que pour tout entier naturel $n$~:
\[I+A+A^2+\cdots+A^n=(I-A)^{-1}(I-A^{n+1})\]
\item \`A partir de maintenant, $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que, pour tout $k\in\mathbf N$, $A^k=\begin{pmatrix} 2^k & k2^{k-1} \\ 0 & 2^k \end{pmatrix}$.
\item Calculer $I+A+A^2+\cdots+A^n$.
\item En déduire la formule recherchée.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\bigskip

\begin{exercice}~\\
Soit $n\in\mathbf N^*$. Toto possède $n$ paires de chaussures. Il a donc $2n$ chaussures. Nous noterons $c_1$, $c_2$, \ldots, $c_n$ les chaussures gauches et $c'_1$, $c'_2$, \ldots, $c'_n$ les chaussures droites correspondantes. Toto choisit simultanément deux chaussures au hasard parmi toutes ses chaussures, gauches ou droites.
\begin{enumerate}
\item De combien de façons peut se faire ce choix~?
\item Parmi ces façons, combien correspondent à deux chaussures gauches~? Combien correspondent à deux chaussures droites~? Combien correspondent au choix d'une chaussure gauche et d'une chaussure droite~?
\item Calculer la probabilité pour que Toto obtienne une chaussure gauche et une chaussure droite.
\item Démontrer que Toto a strictement plus d'une chance sur deux d'obtenir une chaussure gauche et une chaussure droite.
\item Quelle est la probabilité pour que Toto obtienne deux chaussures d'une même paire~?
\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}