\documentclass{article}
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\title{Corrigé du devoir 9}
\author{Pierre \textsc{Bernard}}

\begin{document}
\maketitle
\parindent=0pt

\section*{Exercice 2}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item \[A=I+J\Leftrightarrow J=A-I\Leftrightarrow J=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & -2 & -1 \\
-1 & 4 & 2 \end{pmatrix}\] 
\[J^2=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & -2 & -1 \\
-1 & 4 & 2 \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & -2 & -1 \\
-1 & 4 & 2 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 0 
\end{pmatrix}
\] 
\[J^3=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & -2 & -1 \\
-1 & 4 & 2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 0 
\end{pmatrix}
=0\quad\textrm{(la matrice nulle)}
\] 
\item Soit $n$ un entier tel que $n\ge 3$. On peut écrire~:
\[J^n=J^3 J^{n-3}\]
Mais d'après la question précédente, $J^3=0$. Donc~:
\[J^n=0 J^{n-3}=0\] 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item \textbf{Initialisation.} Pour $n=2$~:
\begin{itemize}
\item $A^n=A^2=(I+J)^2=(I+J)(I+J)=I+J+J+J^2=I+2J+J^2$.
\item $I+nJ+\frac{n(n-1)}{2}J^2=I+2J+\frac{2(2-1)}{2}J^2=I+2J+J^2$.
\end{itemize}
On constate donc que la propriété est vraie au rang $2$.\\
\textbf{Hérédité.} Supposons la propriété vraie au rang $n$ et montrons qu'elle est alors vraie au rang $n+1$. On a~:
\[A^n=I+nJ+\frac{n(n-1)}{2}J^2\]
Multiplions les deux membres par $A$ à gauche, en sachant que $A=I+J$~:
\[A^{n+1}=(I+J)(I+nJ+\frac{n(n-1)}{2}J^2\]
\[A^{n+1}=I+nJ+\frac{n(n-1)}{2}J^2+J+nJ^2+\frac{n(n-1)}{2}J^3\]
Or on a vu que $J^3=0$ (question 1). Donc~:
\[A^{n+1}=I+(n+1)J+\left(\frac{n(n-1)}{2}+n\right)J^2\]
\[A^{n+1}=I+(n+1)J+\left(\frac{n(n-1)+2n}{2}\right)J^2\]
\[A^{n+1}=I+(n+1)J+\left(\frac{n^2+n}{2}\right)J^2\]
\[A^{n+1}=I+(n+1)J+\left(\frac{(n+1)n}{2}\right)J^2\]
On reconnait ici la propriété au rang $n+1$, comme annoncé.\\
\textbf{Conclusion.} Par récurrence~:
\[\forall n\ge 2,\quad A^n=I+nJ+\frac{n(n-1)}{2}J^2\]
\item La formule ci-dessus permet d'écrire~:
\[\forall n\ge 2,\quad A^n=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
+n
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & -2 & -1 \\
-1 & 4 & 2 \end{pmatrix}
+\frac{n(n-1)}{2}
 \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 0 \end{pmatrix}
=
 \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
n-\frac{n(n-1)}{2} & 1-2n & -n \\
-n+\frac{n(n-1)}{2}\cdot 2 & 4n & 1+2n \end{pmatrix}\] 
Après simplifications~:
\[\forall n\ge 2,\quad A^n=
 \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
\frac{n(3-n)}{2} & 1-2n & -n \\
n(n-2) & 4n & 1+2n \end{pmatrix}\] 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item \[(I+J)(I-J+J^2)=I-J+J^2+J-J^2+J^3=I+J^3\]
Or on sait que $J^3=0$ (question 1). Donc :
  \[(I+J)(I-J+J^2)=I-J+J^2+J-J^2+J^3=I\]
\item D'après la question précédente, et puisque $A=I+J$~:
\[A(I-J+J^2)=I\]
On en déduit\footnote{Rappelons le résultat utilisé ici~: si $A$ et $B$ sont deux matrices carrées de même dimension telles que $AB=I$, alors $A$ et inversible et $A^{-1}=B$.} que $A$ est inversible et~:
\[A^{-1}=I-J+J^2\qquad(\star)\]
La formule obtenue à la question 2.a. donne, pour $n=-1$~:
\[A^{-1}=I-J+\frac{(-1)(-1-1)}{2}J^2=I-J+J^2\]
On constate que cette égalité est vraie, puisque c'est l'égalité $(\star)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}