\documentclass{article} \usepackage[a4paper,centering,width=18.6cm,height=26.31cm]{geometry} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[french]{babel} \usepackage{amsmath} \title{Corrigé du devoir 4} \author{Pierre \textsc{Bernard}} \begin{document} \maketitle \parindent=0pt \section*{Exercice 1} L'équation de de degré 2, calculons son discriminant~: \[\Delta=(-(m+1))^2-4\times 1\times \frac{1}{4}=(m+1)^2-1=m^2+2m=m(m+2)\] Pour étudier le signe de $\Delta$, faisons un tableau de signes~: \begin{center} \begin{tabular}{|c|ccccccc|} \hline $m$ & $-\infty$ & - & -2 & - & 0 & + & $+\infty$ \\ \hline $m+2$ & & - & 0 & + & & + & \\ $\Delta$& & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \subsection*{Cas 1. $\Delta>0$ c.a.d. $m\in ]-\infty,-2[\cup ]0,+\infty[$} L'équation admet deux solutions qui sont~: \[x_1=\frac{-(-(m+1))-\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{m+1-\sqrt{m(m+2)}}{2}\] \[x_2=\frac{-(-(m+1))+\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{m+1+\sqrt{m(m+2)}}{2}\] \subsection*{Cas 2. $\Delta=0$ c.a.d. $m=-2$ ou $m=0$} L'équation admet une solution qui est~: \[x_0=\frac{-(-(m+1))}{2}=\frac{m+1}{2}\] \subsection*{Cas 3. $\Delta<0$ c.a.d. $m\in ]-2,0[$} L'équation n'admet pas de solution. \section*{Exercice 2} \begin{enumerate} \item On cherche $a$, $b$, $c$~: \begin{eqnarray*} x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(ax^2+bx+c) & \Longleftrightarrow & x^3+2x^2-5x-6=ax^3+bx^2+cx+ax^2+bx+c \\ & \Longleftrightarrow & x^3+2x^2-5x-6=ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+c\\ & \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{ccl} 1 &=& a \\ 2 &=& a+b\\ -5&=& b+c\\ -6&=& c \end{array}\right.\quad\textrm{(par identification)}\\ & \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{ccl} 1 &=& a \\ 2 &=& 1+b\\ -5&=& b-6\\ -6&=& c \end{array}\right.\\ & \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{ccl} 1 &=& a \\ 1 &=& b\\ 1&=& b\\ -6&=& c \end{array}\right.\\ \end{eqnarray*} D'où~: $x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x^2+x-6)$. \item L'inéquation $I$ a un sens si et seulement si $x^3+2x^2-5x-6\neq 0$. Résolvons~: \begin{eqnarray*} x^3+2x^2-5x-6=0 & \Longleftrightarrow & (x+1)(x^2+x-6)=0\\ & \Longleftrightarrow & (x+1)=0\quad\textrm{ou}\quad x^2+x-6=0\\ & \Longleftrightarrow & x=-1\quad\textrm{ou}\quad x=2 \quad\textrm{ou} \quad x=-3 \quad\textrm{(racines \'evidentes)} \end{eqnarray*} Donc $I$ a un sens si et seulement si $x\neq -1$ et $x\neq 2$ et $x\neq -3$. Résolvons $I$~: \begin{eqnarray*} \frac{-x^3-2x^2-5}{x^3+2x^2-5x-6}\ge -1 & \Longleftrightarrow & \frac{-x^3-2x^2-5}{x^3+2x^2-5x-6}+\frac{x^3+2x^2-5x-6}{x^3+2x^2-5x-6}\ge 0\\ & \Longleftrightarrow & \frac{-5-5x-6}{x^3+2x^2-5x-6}\ge 0\\ & \Longleftrightarrow & \frac{-5x-11}{x^3+2x^2-5x-6}\ge 0\\ & \Longleftrightarrow & \frac{5x+11}{(x+1)(x^2+x-6)}\le 0\\ \end{eqnarray*} \'Etudions le signe de $5x+11$~: \begin{eqnarray*} 5x+11<0 & \Longleftrightarrow & 5x<-11\\ &\Longleftrightarrow & x<\dfrac{-11}{5}\\ \end{eqnarray*} \'Etudions le signe de $x+1$~: \begin{eqnarray*} x+1<0 & \Longleftrightarrow & x<-1\\ \end{eqnarray*} \'Etudions le signe de $x^2+x-6$~: les racines de ce trinôme sont $2$ et $-3$. On sait donc que $x^2+x-6<0$ si et seulement si $x\in ]-3,2[$. On déduit de ce qui précède le tableau de signes suivant~: \begin{center} \begin{tabular}{|c|ccccccccccc|} \hline $x$ & $-\infty$ & & $-3$ & & $\dfrac{-11}{5}$ & & $-1$ & & $2$ & & $+\infty$ \\ \hline $5x+11$ & & $-$ & & $-$ & $0$ & $+$ & & $+$ & & $+$ & \\ \hline $x+1$ & & $-$ & & $-$ & & $-$ & $0$ & $+$ & & $+$ & \\ \hline $x^2+x-6$ & & $+$ & $0$ & $-$ & & $-$ & & $-$ & $0$ & $+$ & \\ \hline $\dfrac{5x+11}{(x+1)(x^2+x-6)}$ & & $+$ & $||$ & $-$ & $0$ & $+$ & $||$ & $-$ & $||$ & $+$ & \\ \hline \end{tabular} \end{center} D'où l'ensemble des solutions de $I$~: \[\mathcal S=\left]-3,\dfrac{-11}{5}\right[\cup \left]-1,2\right[\] \end{enumerate} \section*{Exercice 3} \begin{enumerate} \item Remarquons que $u_n=v_n+2\cdot 7^n$. Calculons $v_{n+1}$~: \begin{eqnarray*} v_{n+1}&=&u_{n+1}-2\cdot 7^{n+1}\\ &=&6u_n+2\cdot 7^n-2\cdot 7^{n+1}\\ &=&6(v_n+2\cdot 7^n)+2\cdot 7^n-2\cdot 7\cdot 7^n\\ &=&6v_n+12\cdot 7^n+2\cdot 7^n-14\cdot 7^n\\ &=&6v_n \end{eqnarray*} Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $6$. \item $\forall n\in\mathbf N,\; v_n=v_0 6^n$. Or $v_0=u_0-2\cdot 7^0=-2$ donc $\forall n\in\mathbf N,\; v_n=-2\cdot 6^n$. \item Pour tout $n\in \mathbf N$~: \begin{eqnarray*} u_n&=&v_n+2\cdot 7^n\\ &=&-2\cdot 6^n+2\cdot 7^n\\ &=&2\cdot 7^n - 2\cdot 6^n \\ &=&2\cdot 7^n \left(1-\frac{2\cdot 6^n}{2\cdot 7^n}\right)\\ &=&2\cdot 7^n \left(1-\left(\frac{6}{7}\right)^n\right) \end{eqnarray*} \item Puisque $7>1$, on a $\lim\limits_{n\to +\infty} 7^n=+\infty$. Et puisque $-1<\dfrac{6}{7}<1$, on a $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{6}{7}\right)^n=0$. On en conclut~: \[\lim_{n\to +\infty} u_n=2\cdot (+\infty)(1-0)=+\infty\] \end{enumerate} \section*{Exercice 4} \begin{enumerate} \item \begin{itemize} \item[initialisation] $a_0=-1$ et $-1<0$ donc la propriété est vraie au rang $n=0$. \item[hérédité] Supposons la propriété vraie au rang $n$ et montrons qu'elle est vraie au rang $n+1$. On a donc $a_n<0$. Donc $-2a_n>0$, $3-2a_n>3>0$, et finalement $\dfrac{a_n}{3-2a_n}<0$, $a_{n+1}<0$, la propriété est héréditaire. \end{itemize} Par récurrence, $a_n<0$ pour tout $n\in\mathbf N$. \item C'est possible car on a montré que $a_n<0$ donc $a_n\neq 0$ pour tout $n\in\mathbf N$. \item Calculons $t_{n+1}$~: \begin{eqnarray*} t_{n+1}&=&\dfrac{1}{a_{n+1}}\\ &=&\dfrac{1}{\left(\dfrac{a_n}{3-2a_n}\right)}\\ &=&\dfrac{3-2a_n}{a_n}\\ &=&\dfrac{3}{a_n}-2\\ &=&3t_n-2 \end{eqnarray*} \item On voit que $(t_n)$ est une suite arithmético-géométrique. Résolvons~: $\ell=3\ell -2\Longleftrightarrow -2\ell=-2 \Longleftrightarrow \ell=1$. Posons $v_n=t_n-\ell=t_n-1$ pour tout $n\in\mathbf N$ (et remarquons que $t_n=v_n+1$). On a~: \begin{eqnarray*} v_{n+1}&=&t_{n+1}-1\\ &=&3t_n-2-1\\ &=&3(v_n+1)-3\\ &=&3v_n \end{eqnarray*} Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $3$ et donc $v_n=v_0 3^n$ pour tout $n\in\mathbf N$. Or $v_0=t_0-1=\frac{1}{a_0}-1=\frac{1}{-1}-1=-2$. D'où $v_n=-2\cdot 3^n$ pour tout $n\in\mathbf N$, et~: \[\forall n\in\mathbf N,\quad t_n=v_n+1=-2\cdot 3^n+1\] Pour calculer $a_n$, on utilise le fait que $t_n=\dfrac{1}{a_n}\Longleftrightarrow a_n=\dfrac{1}{t_n}$~: \begin{eqnarray*} a_n &=& \dfrac{1}{t_n}\\ &=&\dfrac{1}{-2\cdot 3^n+1} \end{eqnarray*} \end{enumerate} \section*{Exercice 5} \begin{enumerate} \item \begin{eqnarray*} w_{n+1}=1 & \Longleftrightarrow & \frac{5w_n-1}{w_n+3}=1\\ & \Longleftrightarrow & 5w_n-1=w_n+3 \\ & \Longleftrightarrow & 4w_n=4\\ & \Longleftrightarrow & w_n=1\\ \end{eqnarray*} \item Initialisation~: $w_0=-\frac{1}{2}\neq 1$ donc la propriété est vraie au rang $n=0$.\\ Hérédité~: supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $w_n\neq 1$. D'après la question précédente, on a alors $w_{n+1}\neq 1$. Donc la propriété est vraie au rang $n+1$. Ainsi la propriété est héréditaire.\\ Conclusion~: par récurrence, $\forall n\in\mathbf N,\; w_n\neq 1$. \item On peut diviser par $1-w_n$ car on vient de montrer que $w_n\neq 1$.\\ \item \begin{eqnarray*} h_n=\frac{w_n+1}{1-w_n} & \Longleftrightarrow & h_n(1-w_n)=w_n+1\\ &\Longleftrightarrow & h_n-h_nw_n=w_n+1\\ &\Longleftrightarrow & -h_nw_n-w_n=1-h_n\\ &\Longleftrightarrow & h_nw_n+w_n=h_n-1\quad\text{(multiplication par $-1$)}\\ &\Longleftrightarrow & w_n(h_n+1)=h_n-1\\ &\Longleftrightarrow & w_n=\frac{h_n-1}{h_n+1} \end{eqnarray*} \item Calculons $h_{n+1}$~: \begin{eqnarray*} h_{n+1}&=&\frac{w_{n+1}+1}{1-w_{n+1}}\\ &=&\frac{\frac{5w_n-1}{w_n+3}+1}{1-\frac{5w_n-1}{w_n+3}}\\ &=&\frac{5w_n-1+w_n+3}{w_n+3-5w_n+1}\\ &=&\frac{6w_n+2}{4-4w_n}\\ &=&\frac{3w_n+1}{2-2w_n}\\ &=&\frac{3\frac{h_n-1}{h_n+1}+1}{2-2\frac{h_n-1}{h_n+1}}\\ &=&\frac{3(h_n-1)+h_n+1}{2(h_n+1)-2(h_n-1)}\\ &=&\frac{4h_n-2}{4}\\ &=&h_n-\frac{1}{2} \end{eqnarray*} Donc la suite $(h_n)$ est arithmétique de raison $-\dfrac{1}{2}$ (et pas $\dfrac{1}{2}$ comme dans l'énoncé). \item D'après le cours sur les suites arithémtiques, $\forall n\in\mathbf N,\; h_n=h_0-\dfrac{n}{2}$. Or $h_0=\frac{w_0+1}{1-w_0}=\frac{-\frac{1}{2}+1}{1-(-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}$. D'où~: \[\forall n\in\mathbf N,\; h_n=\frac{1}{3}-\frac{n}{2}\] On en déduit $w_n$ en utilisant la question~4~: \begin{eqnarray*} w_n&=&\frac{h_n-1}{h_n+1}\\ &=&\frac{\frac{1}{3}-\frac{n}{2}-1}{\frac{1}{3}-\frac{n}{2}+1}\\ &=&\frac{2-3n-6}{2-3n+6}\\ &=&\frac{-3n-4}{-3n+8}\\ &=&\frac{3n+4}{3n-8} \end{eqnarray*} \item \begin{verbatim} program ds4; var n:integer; begin writeln('Entrez un entier n'); readln(n); writeln('w(n)=',(3*n+4)/(3*n-8)); readln; end. \end{verbatim} \item \begin{eqnarray*} w_{n+1}-w_n&=&\frac{3(n+1)+4}{3(n+1)-8}-\frac{3n+4}{3n-8}\\ &=& \frac{3n+7}{3n-5}-\frac{3n+4}{3n-8}\\ &=&\frac{(3n+7)(3n-8)-(3n+4)(3n-5)}{(3n-5)(3n-8)}\\ &=&\frac{9n^2-24n+21n-56-(9n^2-15n+12n-20)}{(3n-5)(3n-8)}\\ &=&\frac{36}{(3n-5)(3n-8)}\\ \end{eqnarray*} On a $3n-5>0\Leftrightarrow 3n>5\Leftrightarrow n>\frac{5}{3}\simeq 1,66$.\\ Et $3n-8>0\Leftrightarrow 3n>8\Leftrightarrow n>\frac{8}{3}\simeq 2,66$.\\ Donc, lorsque $n\ge 3$, $3n-5>0$ et $3n-8>0$, donc $w_{n+1}-w_n>0$. La suite $(w_n)$ est donc croissante pour $n\ge 3$. \item \begin{eqnarray*} \lim_{n\to +\infty} w_n&=&\lim_{n\to +\infty} \frac{3n+4}{3n-8}\\ &=&\lim_{n\to +\infty} \frac{3n}{3n}\\ &=&1 \end{eqnarray*} \end{enumerate} \section*{Exercice 6} \end{document}