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\title{Corrigé du devoir 3}
\author{Pierre \textsc{Bernard}}

\begin{document}
\maketitle

\section*{Exercice 1}

\begin{enumerate}
\item On a~:
\[s_{n+1}-s_n=\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}= \frac{1}{(n+1)(n+2)}\]
Comme $n\in\mathbf N^*$, $n+1>0$ et $n+2>0$ d'où $s_{n+1}-s_n>0$. La suite $(s_n)$ est strictement croissante.
\item Initialisation~: $s_1=\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1(1+1)}=\frac{1}{2}$ et $1-\frac{1}{1+1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ donc on a bien $s_1=1-\frac{1}{1+1}$, la propriété est vraie au rang $n=1$.\\
Hérédité~: supposons la propriété vraie au rang $n$ et démontrons qu'elle est vraie au rang $n+1$.
On a donc~:
\[s_n=1-\frac{1}{n+1}\]
Ajoutons aux deux membres $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$~:
\[s_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\]
Or $s_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=s_{n+1}$ donc~:
\[s_{n+1}=1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\]
\[s_{n+1}=1-\frac{(n+2)-1}{(n+1)(n+2)}\]
\[s_{n+1}=1-\frac{n+1}{(n+1)(n+2)}\]
\[s_{n+1}=1-\frac{1}{n+2}\]
Donc la propriété est vraie au rang $n+1$. Ainsi la propriété est héréditaire.\\
Conclusion~: par récurrence, pour tout $n\in\mathbf N^*$, $s_n=1-\frac{1}{n+1}$.
\item \[\frac{1}{k(k+1)}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}\Longleftrightarrow 1=a(k+1)+bk\Longleftrightarrow 1=(a+b)k+a\]
Par identification, on a donc $a+b=0$ et $a=1$, d'où $b=-1$. En conclusion~:
\[\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\]
\item En utilisant la question précédente~:
\[s_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+1}\]
On fait un changement d'indice dans la seconde somme en posant $j=k+1$~:
\begin{eqnarray*}
s_n&=&\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\sum_{j=2}^{n+1} \frac{1}{j}\\
s_n&=&\frac{1}{1}+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k}-\left(\sum_{j=2}^n \frac{1}{j}+\frac{1}{n+1}\right)\\
s_n&=&1-\frac{1}{n+1}
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}

\end{document}