\documentclass{article}
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\usepackage{amsmath}
\title{Corrigé du devoir 2}
\author{Pierre \textsc{Bernard}}

\begin{document}
\maketitle
\section*{Exercice 1}
L'inéquation n'a de sens que si $x\in \mathbf R\setminus\{-5,-4,4\}$.
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x-4}<\frac{1}{x+5} 	& \Leftrightarrow 	& \frac{1}{x+4}+\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+5}<0 \\
						& \Leftrightarrow 	& \frac{(x-4)(x+5)+(x+4)(x+5)-(x+4)(x-4)}{(x+4)(x-4)(x+5)}<0\\
						& \Leftrightarrow 	& \frac{x^2+5x-4x-20+x^2+5x+4x+20-(x^2-16)}{(x+4)(x-4)(x+5)}<0\\
						& \Leftrightarrow 	& \frac{2x^2+10x-x^2+16}{(x+4)(x-4)(x+5)}<0\\
						& \Leftrightarrow 	& \frac{x^2+10x+16}{(x+4)(x-4)(x+5)}<0\\
\end{eqnarray*}
\'Etudions le signe du trinôme $x^2+10x+16$~: ses racines sont $-2$ et $-8$. Donc $x^2+10x+16<0$ si et seulement si $x\in ]-8,-2[$.\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccccccccccc|}
\hline
$x$ 			& $-\infty$ 	& 	& $-8$	&	& $-5$	& 	& $-4$ 	& 	& $-2$ 	&	& $4$ 	& 	& $+\infty$ 	\\
\hline
$x^2+10x+16$		&		& +	& 0	& -	& 	& -	& 	& -	& 0	& +	& 	& +	&		\\
\hline
$x+4$			&		& -	&	& -	& 	& -	& 0	& +	&	& +	&	& +	&		\\
\hline
$x-4$			&		& -	&	& -	&	& -	&	& -	& 	& -	& 0	& +	&		\\
\hline
$x+5$			&		& -	&	& -	& 0	& +	&	& +	&	& +	&	& +	&		\\
\hline
$\dfrac{x^2+10x+16}{(x+4)(x-4)(x+5)}$&	& -	& 0	& +	& $||$	& -	& $||$	& +	& 0	& -	& $||$	& +	&		\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On en conclut que l'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathcal S=]-\infty,-8[\cup ]-5,-4[\cup ]-2,4[$.

\section*{Exercice 2}

L'inéquation n'a de sens que lorsque $m\neq 0$. Distinguons deux cas~:
\subsection*{Cas 1~: $m<0$}
\begin{eqnarray*}
\frac{3x-2}{m}-m<x 	& \Leftrightarrow 	& 3x-2-m^2 > mx \quad \textrm{car $m<0$}\\	
	 		& \Leftrightarrow 	& 3x-mx  > m^2+2 \\
		 	& \Leftrightarrow 	& (3-m)x  > m^2+2 \\
\end{eqnarray*}
Résolvons~: $3-m>0\Longleftrightarrow 3>m$. Puisque $m<0$, on a $m<3$ et donc $3-m>0$. D'où~:
\begin{eqnarray*}
(3-x)x>m^2+2 	& \Leftrightarrow 	& x  > \frac{m^2+2}{3-m} \\
\end{eqnarray*}
\subsection*{Cas 2~: $m>0$}
\begin{eqnarray*}
\frac{3x-2}{m}-m<x 	& \Leftrightarrow 	& 3x-2-m^2 < mx \quad \textrm{car $m<0$}\\	
	 		& \Leftrightarrow 	& 3x-mx  < m^2+2 \\
		 	& \Leftrightarrow 	& (3-m)x  < m^2+2 \\
\end{eqnarray*}
On a déjà vu que $3-m>0\Longleftrightarrow 3>m$. On distingue donc trois sous-cas~:

\subsubsection*{Cas 2.1~: $m<3$}
\begin{eqnarray*}
(3-m)x<m^2+2 	& \Leftrightarrow 	& x  < \frac{m^2+2}{3-m} \\
\end{eqnarray*}

\subsubsection*{Cas 2.2~: $m=3$}
\begin{eqnarray*}
(3-m)x<m^2+2 	& \Leftrightarrow 	& 0  < 11 \\
\end{eqnarray*}

\subsubsection*{Cas 2.3~: $m>3$}
\begin{eqnarray*}
(3-m)x<m^2+2 	& \Leftrightarrow 	& x  > \frac{m^2+2}{3-m} \\
\end{eqnarray*}

\subsection*{Conclusion}
\begin{itemize}
\item Si $m\in ]-\infty,0[\cup ]3,+\infty[$ alors $\mathcal S=\left]\frac{m^2+2}{3-m},+\infty\right[$.
\item Si $m\in ]0,3[$ alors $\mathcal S=\left]-\infty,\frac{m^2+2}{3-m}\right[$
\item Si $m=3$ alors $\mathcal S=\mathbf R$.
\end{itemize}
Rappelons que pour $m=0$, l'inéquation n'a pas de sens.

\section*{Exercice 3}

\begin{enumerate}
\item $\alpha=1$ est une racine du polynôme $x^3-2x^2+1$
\item \begin{eqnarray*}
x^3-2x^2+1=(x-\alpha)(ax^2+bx+c) & \Leftrightarrow & x^3-2x^2+1=(x-1)(ax^2+bx+c) \\
& \Leftrightarrow & x^3-2x^2+1=ax^3+bx^2+cx-ax^2-bx-c\\
& \Leftrightarrow & x^3-2x^2+1=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c
\end{eqnarray*}
Par \emph{identification des coefficients}, on est conduit à résoudre le système suivant~:
\[
\left\{\begin{array}{ccc}
1&=&a\\
-2&=&b-a\\
0&=&c-b\\
1&=&-c
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{ccc}
1&=&a\\
-1&=&b\\
-1&=&c\\
\end{array}\right.
\]
D'où $x^3-2x^2+1=(x-1)(x^2-x-1)$.
\item 
\begin{eqnarray*}
x^3-2x^2+1>0 & \Leftrightarrow & (x-1)(x^2-x-1)>0\\
\end{eqnarray*}
\'Etudions le signe de $x^2-x-1=0$. Le discriminant de ce trinôme est $\Delta=(-1)^2-4(-1)(1)=5>0$ donc il admet deux racines $x_1=\frac{1-\sqrt 5}{2}$ et $x_2=\frac{1+\sqrt 5}{2}$. De plus, $x^2-x-1<0$ si et seulement si $x\in ]x_1,x_2[$.\\
Comparons $x_1$, $x_2$ et $1$~: on a $x_1<1<x_2$.\\
On en déduit le tableau de signes suivant~:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}
\hline
$x$ 			& $-\infty$ 	& 	& $x_1$	&	& $1$	& 	& $x_2$ & 	& $+\infty$ 	\\
\hline
$x^2-x-1$		&		& +	& 0	& -	& 	& -	& 0	& +	&		\\
\hline
$x-1$			&		& -	&	& -	& 0 	& +	& 	& +	&  \\
\hline
$(x-1)(x^2-x-1)$	&		& -	& 0	& +	& 0	& -	& 0	& +	& 	\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
D'où l'ensemble des solutions de $I$~: 
\[\mathcal S=]x_1,1[\cup ]x_2,+\infty[\]
\end{enumerate}
\end{document}