\documentclass{article}
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\usepackage{stmaryrd} % pour \rrbracket et \llbracket, les intervalles entiers
\title{Corrigé du devoir 12}
\author{Pierre \textsc{Bernard}}

\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{empty}
\section*{Exercice 1}

\begin{enumerate}
\item L'univers $\Omega$ est l'ensemble des $n$-listes $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ telles que $\forall i\in\llbracket 1,n\rrbracket, x_i\in \llbracket 1,6\rrbracket$. On a donc $\mathrm{card}(\Omega)=6^n$.
\item On a $\overline A=$\og{}on n'obtient aucun 6\fg{} donc $\mathrm{card}(\overline A)=5^n$. Par équiprobabilité~:
\[P(\overline A)=\frac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card(\Omega)}}=\frac{5^n}{6^n}=\left(\frac{5}{6}\right)^n\]
Puis~:
\[P(A)=1-P(\overline A)=1-\left(\frac{5}{6}\right)^n\]
\item On résout l'inéquation suivante~:
\begin{eqnarray*}
P(A)\ge 0,9& \Longleftrightarrow & 1-\left(\frac{5}{6}\right)^n\ge 0,9\\
& \Longleftrightarrow & -\left(\frac{5}{6}\right)^n\ge -0,1\\
& \Longleftrightarrow & \left(\frac{5}{6}\right)^n\le 0,1\\
& \Longleftrightarrow & \ln\left(\left(\frac{5}{6}\right)^n\right)\le \ln(0,1)\\
& \Longleftrightarrow & n \ln\left(\frac{5}{6}\right)\le \ln\left(\frac{1}{10}\right)\\
& \Longleftrightarrow & n \ge \frac{\ln\left(\frac{1}{10}\right)}{\ln\left(\frac{5}{6}\right)}\qquad \textrm{car $\ln\left(\frac{5}{6}\right)<0$}\\
& \Longleftrightarrow & n \ge \frac{-\ln(10)}{\ln(5)-\ln(6)}\\
& \Longleftrightarrow & n \ge \frac{\ln(10)}{\ln(6)-\ln(5)}\\
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}

Puisqu'il s'agit d'un tirage simultané, le nombre total de tirage de 4 boules parmi 6 est ${6 \choose 4}={6\choose 2}=\frac{6\times 5}{2}=15$. Parmi ces 15 tirages possibles, le nombre de tirages \og{}favorables\fg{}, c'est-à-dire contenant autant de boules blanches que de boules noires, est ${3\choose 2}{3\choose 2}=3\times 3=9$ (on choisit 2 boules parmi les 3 blanches et 2 boules noires parmi les 3 noires). Finalement, la proababilité cherchée est $\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$ (par équiprobabilité des tirages).

\section*{Exercice 3}
Pour cet exercice, je ne donne pas de corrigé mais seulement les résultats sous forme de tableaux~:
\newline
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
\hline
$P_{U_i}(R_j)$	&	$R_0$	& 	$R_1$	&	$R_2$	&	$R_3$	\\
\hline
\hline
$U_0$ 		& 	1	&	0	&	0	&	0	\\
\hline
$U_1$ 		& 	8/27	&	4/9	&	2/9	&	1/27	\\
\hline
$U_2$ 		& 	1/27	&	2/9	&	4/9	&	8/27	\\
\hline
$U_3$ 		& 	0	&	0	&	0	&	1	\\
\hline
\end{tabular}
\hspace{1cm}
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$P(R_0)=1/3$\\
$P(R_1)=1/6$\\
$P(R_2)=1/6$\\
$P(R_3)=1/3$\\
\hline
\end{tabular}
\hspace{1cm}
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
\hline
$P_{R_i}(U_j)$	&	$U_0$	& 	$U_1$	&	$U_2$	&	$U_3$	\\
\hline
\hline
$R_0$ 		& 	3/4	&	2/9	&	1/36	&	0	\\
\hline
$R_1$ 		& 	0	&	2/3	&	1/3	&	0	\\
\hline
$R_2$ 		& 	0	&	1/3	&	2/3	&	0	\\
\hline
$R_3$ 		& 	0	&	1/36	&	2/9	&	3/4	\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{document}

\end{enumerate}

\end{document}