\documentclass{article}
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\title{Corrigé du devoir 11}
\author{Pierre \textsc{Bernard}}

\begin{document}
\maketitle

\section*{Exercice 1}

\begin{enumerate}
\item On raisonne par équivalences~:
\begin{eqnarray*}
I+A+\cdots +A^n=(I-A)^{-1}(I-A^{n+1})&\Leftrightarrow & (I-A)(I+A+\cdots +A^n)=I-A^{n-1}\\
&\Leftrightarrow & I+A+\cdots+A^n-A-\cdots -A^{n+1}=I-A^{n+1}\\
&\Leftrightarrow & I-A^{n+1}=I-A^{n+1}\quad \textrm{ce qui est vrai}
\end{eqnarray*}
\item Posons $J=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$. On a alors $A=2I+J$. Les matrices $2I$ et $J$ commutent ($2IJ=J2I$) donc on peut utiliser la formule du binôme~:
\[\forall k\in\mathbf N,\; A^k=(J+2I)^k=\sum_{i=0}^k {k\choose i}J^i (2I)^{k-i}={k\choose 0}J^0 (2I)^k+{k\choose 1} J^1 (2I)^{k-1}+\cdots+{k\choose k}J^k (2I)^0\]
Or un calcul simple montre que $J^2=0$. On a donc $\forall i\ge 2,\; J^i=0$, et la formule ci-dessus se simplifie~:
\[\forall k\in\mathbf N,\; A^k={k\choose 0}J^0(2I)^k+{k\choose 1}J^1(2I)^{k-1}=(2I)^k+kJ(2I)^{k-1}\]
De plus~:
\[\forall i\in\mathbf N,\;(2I)^i=\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}^i=\begin{pmatrix} 2^i & 0 \\ 0 & 2^i\end{pmatrix}=2^i I\]
Finalement~:
\[\forall k\in\mathbf N,\; A^k=2^k I+k2^{k-1} J=\begin{pmatrix} 2^k & k2^{k-1}\\ 0 & 2^k\end{pmatrix}\]
\item Utilisons la question~1~: commençons par étudier l'inversibilité de $I-A$.
\[I-A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\]
\[
\left(
\begin{array}{cc|cc}
-1	& -1 	& 1 	& 0 	\\
0	& -1	& 0	& 1	
\end{array}
\right)
\sim
\left(
\begin{array}{cc|cc}
-1	& -1 	& 1 	& 0 	\\
0	& 1	& 0	& -1	
\end{array}
\right)
\sim
\left(
\begin{array}{cc|cc}
-1	& 0 	& 1 	& -1 	\\
0	& 1	& 0	& -1	
\end{array}
\right)
\sim
\left(
\begin{array}{cc|cc}
1	& 0 	& -1 	& 1 	\\
0	& 1	& 0	& -1	
\end{array}
\right)
\]
Donc $I-A$ est inversible et $(I-A)^{-1}=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$. On a donc, d'après les questions 1 et~3~:
\[I+A+A^2+\cdots+A^n=(I-A)^{-1}(I-A^{n+1})=\begin{pmatrix}-1&1\\ 0&-1\end{pmatrix}\left(I-\begin{pmatrix}2^{n+1} & (n+1)2^n \\ 0 & 2^{n+1}\end{pmatrix}\right)\]
\[=\begin{pmatrix}-1&1\\ 0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1-2^{n+1} & -(n+1)2^n \\ 0 & 1-2^{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^{n+1}-1 & (n+1)2^n+1-2^{n+1}\\ 0 & 2^{n+1}-1 \end{pmatrix}\]
Mais on peut calculer $I+A+A^2+\cdots+A^n$ d'une autre manière, en utilisant uniquement la question~3~:
\[I+A+A^2+\cdots+A^n=\sum_{k=0}^n A^k=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} 2^k & k2^{k-1}\\ 0 & 2^k\end{pmatrix}\]
\[=\begin{pmatrix}
\sum\limits_{k=0}^n 2^k & \sum\limits_{k=0}^n k 2^{k-1} \\ 0 & \sum\limits_{k=0}^n 2^k\end{pmatrix}\]
Par identification, on obtient~:
\[\sum_{k=0}^n k2^{k-1}=(n+1)2^n+1-2^{n+1}\]
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}

\begin{enumerate}
\item Toto choisit 2 objets parmi $2n$, il a ${{2n}\choose 2}=\frac{2n(2n-1)}{2}=n(2n-1)$ façons de faire ce choix.
\item Choisir 2 chaussures gauches, c'est choisir parmi les $n$ chaussures gauches~: Toto a donc ${n\choose 2}=\frac{n(n-1)}{2}$ façons de faire un tel choix. De même, il a $\frac{n(n-1)}{2}$ façons de choisir deux chaussures droites. Enfin, pour choisir une chaussure gauche et une chaussure droite, Toto a $n^2$ façons de faire ($n$ choix possibles pour la chaussure gauche puis $n$ choix possibles pour la chaussure droite).
\item Par équiprobabilité et d'après la question précédente, la probabilité pour que Toto obtienne une chaussure gauche et une chaussure droite est~:
\[\frac{n^2}{n(2n-1)}=\frac{n}{2n-1}\]
\item On raisonne par équivalence~:
\begin{eqnarray*}
\frac{n}{2n-1}>\frac{1}{2}&\Leftrightarrow &\frac{2n}{2n-1}>1 \quad\textrm{car $2>0$}\\
&\Leftrightarrow & 2n > 2n-1 \quad \textrm{car $2n-1>0$ (car $n\ge 1$ par hypothèse)}\\
&\Leftrightarrow & 0>-1\quad\textrm{ce qui est vrai}
\end{eqnarray*}
Toto a donc bien strictement plus d'une chance sur deux d'obtenir une chaussure gauche et une chaussure droite.
\item Il y a exactement $n$ paires de chaussures donc la probabilité pour que Toto obtienne une paire est $\frac{n}{n(2n-1)}=\frac{1}{2n-1}$.
\end{enumerate}

\end{document}