\documentclass{article}
\usepackage[a4paper,centering,width=18.6cm,height=26.31cm]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\title{Corrigé du devoir 10}
\author{Pierre \textsc{Bernard}}

\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{empty}

\section*{Exercice 1}
\begin{enumerate}
\item D'après la formule du binôme~:
\[f(x)=(x+1)^n=\sum_{p=0}^n {n\choose p}x^p 1^{n-p}=\sum_{p=0}^n {n\choose p}x^p={n\choose 0}+{n\choose 1}x+{n\choose 2}x^2+\cdots+{n\choose n}x^n\]
\item On remarque, grâce à la question précédente, que~:
\[A=f(1)=(1+1)^n=2^n\]
\[B=f(2)=(1+2)^n=3^n\]
\[C=f(-1)=(1-1)^n=0\qquad\textrm{car $n\ge 1$ par hypothèse (rappelons que $0^0=1$)}\]
\item Calculons $f'(x)$ de deux façons. D'une part $f(x)=(1+x)^n$ donc~:
\[f'(x)=n(1+x)^{n-1}\]
On a utilisé la formule~: $(u^n)'=nu'u^{n-1}$.
D'autre part~:
\[f(x)={n\choose 0}+{n\choose 1}x+{n\choose 2}x^2+\cdots+{n\choose n}x^n\]
Donc~:
\[f'(x)={n\choose 1}x+2{n\choose 2}x+\cdots+n{n\choose n}x^{n-1}\]
\item Avec la question précédente, on voit que~:
\[D=f'(1)=n(1+1)^{n-1}=n2^{n-1}\]
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}

\begin{enumerate}
\item Pour l'achat des livres, l'ordre n'a pas d'importance. Toto choisit 3 livres de math parmi 10 et 2 bandes dessinées parmi 20. Donc le nombre de façons de faire ces achats est~: ${10 \choose 3}{20\choose 2}=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2}\times \frac{20\times 19}{2}=10\times 3\times 4\times 10\times 19=22800$.
\item Ici l'ordre compte. Toto choisit un de ses 5 livres pour être le premier de la pile, puis un des 4 autres pour être le deuxième, etc. Il a donc $5\times 4\times 3\times 2=5!=120$ façons de constituer la pile.
\item Dans cette question, Toto forme une pile avec ses 3 livres de math~: il a $3\times 2=6$ façons de le faire. Puis une pile avec ses bandes dessinées~: il a $2$ façons de le faire. Enfin, il place la pile de livres de math sous la pile de bande dessinées, mais il n'y a qu'une seule façon de faire cela.  Il a donc $6\times 2=12$ façons de constituer la pile de 5 livres.
\item Ici, Toto forme une pile avec ses 3 livres de math (donc 6 façons de le faire, on l'a vu), une pile avec ses bandes dessinées (2 façons de le faire), puis il insère la pile de livre de math~:
\begin{itemize}
\item sous les bandes dessinées
\item ou bien entre les deux bandes dessinées
\item ou bien au dessus des bandes dessinées
\end{itemize}
Finalement, il a donc $6\times 2\times 3=36$ façons de constituer la pile.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}

Cet exercice n'est pas corrigé en détail; je donne seulement le résultat~:
\[\forall n\in\mathbf N,\; A^n=\begin{pmatrix}1-2n & 4n \\ -n & 1+2n\end{pmatrix}\]

\end{document}