\documentclass{article}
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\title{Corrigé du devoir 1}
\author{Pierre \textsc{Bernard}}

\begin{document}
\maketitle
\section*{Exercice 1}
\begin{enumerate}
\item $a^2+4a+4=(a+2)^2$
\item $-x-1=0\Leftrightarrow x=-1$. $\mathcal S=\{-1\}$.
\item Dans le cas où $a\neq -1$, l'équation $E$ est du second degré. On voit que $x_1=-1$ est une racine. Le produit des racines est $\frac{-1}{a+1}$, donc la seconde racine est $x_2=\frac{1}{a+1}$. $\mathcal S=\{-1,\frac{1}{a+1}\}$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
On pose $X=x^2$.
\[x^4+x^2-20=0\Leftrightarrow X^2+X-20=0\]
On reconnait une équation du second degré et on voit que $X_1=4$ en est une racine. Le produit des racines est $X_1 X_2=-20$ donc l'autre racine est $X_2=-5$. Résolvons ensuite~:
\[x^2=4\Leftrightarrow x=2\textrm{ ou }x=-2\]
puis~:
\[x^2=-5 \textrm{ qui n'a pas de solution}\]
On en conclut que $\mathcal S=\{-2,2\}$. 

\section*{Exercice 3}
\begin{enumerate}
\item Elle est de degré deux si et seulement si $m\neq 11$.
\item On distingue deux cas~:
\begin{itemize}
\item Cas 1~: $m=11$. L'équation $E$ est alors $2(11+7)x+11+5=0\Leftrightarrow 36x+16=0\Leftrightarrow x=-\frac{16}{36}=-\frac{4}{9}$. $\mathcal S=\{-\frac{4}{9}\}$.
\item Cas 2~: $m\neq 11$. L'équation $E$ est alors du second degré. Son discriminant vaut~:
\begin{eqnarray*}
\Delta&=&(2(m+7))^2-4(m-11)(m+5)\\
&=&4((m+7)^2-(m-11)(m+5))\\
&=&4(m^2+14m+49-m^2-5m+11m+5)\\
&=&4(20m+104)\\
&=&16(5m+26)
\end{eqnarray*}
Résolvons $\Delta>0\Leftrightarrow 5m+26>0\Leftrightarrow m>-\frac{26}{5}$. On distingue donc trois cas~:
\begin{itemize}
\item Cas 2.1 : $m>-\frac{26}{5}$. Il y a deux solutions qui sont~:
\[x_1=\frac{-2(m+7)-\sqrt{16(5m+26)}}{2(m-11)}=\frac{-m-7-2\sqrt{5m+26}}{m-11}\]
\[x_2=\frac{-m-7+2\sqrt{5m+26}}{m-11}\]
\item Cas 2.2 : $m=-\frac{26}{5}$. Il y a une solution~:
\[x_0=\frac{-2(m+7)}{2(m-11)}=\frac{-m-7}{m-11}=\frac{\frac{26}{5}-7}{-\frac{26}{5}-11}=\frac{26-35}{-26-55}=\frac{-9}{-81}=\frac{1}{9}\]
\item Cas 2.3 : $m<-\frac{26}{5}$. Il n'y a pas de solution.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{document}